Aucune nature, aucune aire de ces corrigés n'a été saisie : toutes sont calculées à partir des coordonnées des sommets, et le module refuse une figure dont la nature annoncée ne serait pas celle que sa géométrie impose.
Les cinq figures de la première fiche ne sont pas nommées : leur nature est déduite de leurs sommets. Un module qui écrirait « ABCD est un losange » sur une figure qui n'en est pas un ne produirait aucun PDF.
L'aire de chaque parallélogramme est calculée deux fois : par le produit vectoriel sur les sommets, et par base multipliée par hauteur. Les deux doivent coïncider, et c'est ce qui démontre la formule sur chaque figure de l'article au lieu de l'affirmer.
L'aire de la figure complexe est calculée deux fois aussi : par la somme des trois morceaux, et par la formule des lacets sur son contour. Un découpage qui laisserait un trou ou se recouvrirait ferait diverger les deux.
Les coordonnées sont des fractions exactes. Deux calculs qui devraient coïncider coïncident vraiment, sans tolérance d'arrondi.
1 sur 5
Reconnaitre, en justifiant
Cinq figures sur un quadrillage, et une seule qui n'est pas un parallélogramme.
Les cinq natures, et pourquoi le trapèze n'en est pas un.
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Les cinq copies jugées, et la démonstration rédigée.
Une seule propriété caractéristique suffit — encore faut-il l'énoncer entière.
Caractéristique
Deux à deux
Le centre de symétrie
Démontrer
Le barème, exercice par exercice total : 20 points
Exercice 1 — Le tableau des propriétés8 points
Complète les deux dernières colonnes.
Une propriété simple ne marche que dans un sens : tout carré a quatre côtés égaux, mais un losange aussi.
Encore faut-il l'énoncer entièrement : « les diagonales se coupent en leur milieu », et non « les diagonales se coupent ».
Exercice 2 — Cinq affirmations, à valider ou à corriger6 points
Pour chaque copie, dis si elle est juste. Si elle ne l'est pas, écris ce qu'il fallait dire.
En géométrie, une propriété tronquée devient fausse : c'est la fin de l'énoncé qui porte le sens.
Le centre de symétrie et le milieu commun des diagonales sont le même point, et ce n'est pas une coïncidence.
Exercice 3 — Rédiger une démonstration6 points
EFGH est un quadrilatère dont les diagonales [EG] et [FH] se coupent en un point O. On sait que O est le milieu de [EG] et le milieu de [FH].
Barème conseillé : 1 point pour l'hypothèse complète, 3 pour la propriété énoncée entièrement, 1 pour la conclusion. Une propriété tronquée ne vaut rien.
On ne change pas de propriété : on en ajoute une, et l'on descend d'un cran dans l'emboitement des figures.
3 sur 5
Les parallélogrammes particuliers, lus sur leurs diagonales
Deux questions sur les diagonales suffisent à nommer la figure.
Les quatre appariements, et les deux questions qui les séparent.
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Le programme de conversion, et le problème des dalles.
Un carré de 1 m contient cent carrés de 1 dm², et non cent de 1 cm².
Deux colonnes
10 000 cm²
L'hectare
Les dalles
Le barème, exercice par exercice total : 20 points
Exercice 1 — Le tableau des unités d'aire8 points
Chaque unité d'aire occupe deux colonnes de chiffres. Complète le tableau.
1 m = 100 cm, mais 1 m² = 10000 cm² : ce n'est pas la même chose.
L'are et l'hectare sont d'autres noms pour le dam² et le hm² : 1 a = 100 m².
Exercice 2 — Le programme de conversion6 points
Applique les quatre étapes, puis réponds.
On calcule d'abord, on convertit ensuite : convertir avant multiplie les occasions de se tromper.
Un carré de 1 m de côté contient dix rangées de dix carrés de 10 cm — soit cent carrés de 1 dm², et non cent de 1 cm².
Exercice 3 — Un problème6 points
Une allée en forme de parallélogramme a une base de 12 m et une hauteur de 250 cm. On veut la couvrir de dalles carrées de 50 cm de côté.
Convertir avant de multiplier : mélanger des mètres et des centimètres dans un même produit donne un résultat qui n'a pas d'unité.
Quatre dalles par mètre carré : on peut aussi le voir ainsi, et vérifier 30 x 4 = 120.
Ce que le générateur refuse
Une figure dont la nature annoncée ne serait pas celle que ses sommets imposent : la nature est calculée, jamais déclarée.
Deux figures de même nature parmi les cinq : elles n'apprendraient pas cinq choses différentes.
Un parallélogramme dont base multipliée par hauteur ne redonnerait pas l'aire calculée sur ses sommets.
L'absence d'un parallélogramme dont la hauteur diffère de ses deux côtés : sans lui, le piège de l'aire ne pourrait pas être montré.
Une table des diagonales incomplète — les quatre combinaisons doivent y être — ou une ligne qu'aucune figure réelle ne réalise.
Une figure complexe dont la somme des morceaux ne redonnerait pas l'aire de son contour, ou dont les morceaux seraient tous de même nature.
Un facteur de conversion faux : le contrôle vérifie que chaque rang du tableau des aires vaut cent, et que 1 m vaut 100 cm.
Deux codages qui diraient la même chose.
Ce que le contrôle a refusé au premier jet
La figure complexe ne se recollait pas. Le rectangle, le parallélogramme et le triangle du premier découpage laissaient un triangle de 4 unités d'aire non couvert : la somme des morceaux donnait 64 et le contour 68. Les trois morceaux ont été redessinés pour se superposer exactement au contour, et les deux calculs tombent maintenant sur 57.
Cinq barèmes à 14 points : chaque fiche ne portait que deux exercices. Un troisième a été écrit pour chacune — la construction, la démonstration rédigée, le codage, la comparaison aire-périmètre, et le problème des dalles.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 (annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026), classe de cinquième, entrée « Parallélogrammes ». Les figures sont données par les coordonnées de leurs sommets ; leur nature est déduite par calcul vectoriel et jamais déclarée. Les aires sont obtenues par le produit vectoriel et confrontées au produit base par hauteur ; l'aire de la figure complexe est obtenue par décomposition et par la formule des lacets sur son contour, et les deux doivent coïncider. Les coordonnées sont des fractions exactes.
Rédaction : Fiches ScolairesMise à jour :
Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026 — classe de cinquième, espace et géométrie.
Questions fréquentes
Quelles sont les propriétés caractéristiques du parallélogramme ?
Trois, et chacune suffit à elle seule : les côtés opposés sont parallèles deux à deux — c'est la définition ; les côtés opposés ont deux à deux la même longueur ; les diagonales se coupent en leur milieu. « Caractéristique » veut dire que la propriété marche dans les deux sens : tout parallélogramme la vérifie, et tout quadrilatère qui la vérifie en est un.
Comment reconnaitre un rectangle, un losange ou un carré à ses diagonales ?
Une fois établi que les diagonales se coupent en leur milieu, deux questions suffisent. Ont-elles la même longueur ? Si oui, c'est un rectangle. Sont-elles perpendiculaires ? Si oui, c'est un losange. Les deux à la fois ? C'est un carré. Ni l'une ni l'autre ? C'est un parallélogramme quelconque.
Comment calcule-t-on l'aire d'un parallélogramme ?
Base multipliée par hauteur — et la hauteur se mesure perpendiculairement à la base, pas le long d'un côté. Un losange de 5 cm de côté et de 4,8 cm de hauteur a une aire de 24 cm², et non de 25. Dans un rectangle seulement, la hauteur coïncide avec un côté : c'est de là que vient la confusion.
Pourquoi 1 m² vaut-il 10 000 cm² et non 100 ?
Parce qu'une aire se mesure dans deux directions. Un mètre vaut cent centimètres ; un carré d'un mètre de côté contient donc cent rangées de cent carrés d'un centimètre, soit dix mille. C'est pourquoi chaque unité occupe deux colonnes dans le tableau des unités d'aire : un rang y vaut cent, jamais dix.
