Correction - Problèmes Théorème de Pythagore (PDF + Corrigé) - Hypoténuse, côtés et applications concrètes
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Voici le corrigé complet et détaillé des cinq exercices sur le théorème de Pythagore. Cette fiche d'exercices, destinée aux élèves de 4e et 3e, couvre les compétences essentielles : calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle, trouver un côté de l'angle droit, vérifier si un triangle est rectangle grâce à la réciproque, et résoudre des problèmes concrets. Chaque réponse est accompagnée de la méthode utilisée et des étapes de calcul détaillées, telles qu'elles sont attendues par les enseignants.
Exercice 1 : Calculer l'hypoténuse (4 points)
Méthode pour calculer l'hypoténuse :
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle droit. D'après le théorème de Pythagore : hypoténuse² = côté₁² + côté₂². On calcule la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée du résultat pour obtenir la longueur de l'hypoténuse.
a) Triangle ABC rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC.
Le triangle ABC est rectangle en A. L'hypoténuse est donc BC, le côté opposé à l'angle droit. D'après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC = √25
BC = 5 cm
b) Triangle EFG rectangle en E, avec EF = 5 cm et EG = 12 cm. Calculer FG.
Le triangle EFG est rectangle en E. L'hypoténuse est FG. D'après le théorème de Pythagore :
FG² = EF² + EG²
FG² = 5² + 12²
FG² = 25 + 144
FG² = 169
FG = √169
FG = 13 cm
Remarque importante :
Les triplets (3, 4, 5) et (5, 12, 13) sont des triplets pythagoriciens : ce sont des nombres entiers qui vérifient le théorème de Pythagore. Les connaître par coeur permet de vérifier rapidement ses résultats et de gagner du temps lors des contrôles.
Conseil aux parents : si votre enfant a eu des difficultés avec cet exercice, vérifiez qu'il sait bien identifier l'angle droit et l'hypoténuse dans le triangle. L'erreur la plus fréquente consiste à ne pas reconnaître quel côté est l'hypoténuse. Rappelez-lui que c'est toujours le côté situé en face de l'angle droit, et qu'il est toujours le plus long des trois côtés.
Exercice 2 : Calculer un côté de l'angle droit (4 points)
Méthode pour calculer un côté de l'angle droit :
Quand on cherche un côté de l'angle droit (et non l'hypoténuse), on isole le côté cherché : côté² = hypoténuse² - autre côté². Attention, ici on soustrait au lieu d'additionner, car le côté cherché est forcément plus petit que l'hypoténuse.
a) Triangle RST rectangle en S, avec RT = 10 cm et RS = 6 cm. Calculer ST.
Le triangle RST est rectangle en S. L'hypoténuse est RT = 10 cm (côté opposé à l'angle droit en S). On cherche ST. D'après le théorème de Pythagore :
RT² = RS² + ST²
ST² = RT² - RS²
ST² = 10² - 6²
ST² = 100 - 36
ST² = 64
ST = √64
ST = 8 cm
b) Triangle IJK rectangle en J, avec IK = 15 cm et IJ = 9 cm. Calculer JK.
Le triangle IJK est rectangle en J. L'hypoténuse est IK = 15 cm (côté opposé à l'angle droit en J). On cherche JK. D'après le théorème de Pythagore :
IK² = IJ² + JK²
JK² = IK² - IJ²
JK² = 15² - 9²
JK² = 225 - 81
JK² = 144
JK = √144
JK = 12 cm
Conseil aux parents : si votre enfant a fait une addition au lieu d'une soustraction, c'est l'erreur la plus classique de cet exercice. Aidez-le à distinguer les deux cas : quand on cherche l'hypoténuse, on additionne les carrés des côtés ; quand on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse. Un bon réflexe est de vérifier que le résultat est bien plus petit que l'hypoténuse.
Exercice 3 : Le triangle est-il rectangle ? (4 points)
Méthode avec la réciproque du théorème de Pythagore :
Pour vérifier si un triangle est rectangle : 1. On identifie le plus grand côté (c'est l'hypoténuse potentielle). 2. On calcule le carré du plus grand côté. 3. On calcule la somme des carrés des deux autres côtés. 4. Si les deux valeurs sont égales, le triangle est rectangle (d'après la réciproque). Si elles sont différentes, il ne l'est pas (d'après la contraposée).
a) Triangle ABC avec AB = 8 cm, BC = 17 cm et AC = 15 cm.
Le plus grand côté est BC = 17 cm. On compare BC² avec AB² + AC² :
BC² = 17² = 289
AB² + AC² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289
On constate que BC² = AB² + AC² (289 = 289).
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
b) Triangle DEF avec DE = 7 cm, EF = 10 cm et DF = 8 cm.
Le plus grand côté est EF = 10 cm. On compare EF² avec DE² + DF² :
EF² = 10² = 100
DE² + DF² = 7² + 8² = 49 + 64 = 113
On constate que EF² est différent de DE² + DF² (100 est différent de 113).
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEF n'est pas rectangle.
Conseil aux parents : si votre enfant oublie de justifier sa réponse, rappelez-lui que la rédaction est essentielle en mathématiques. Il doit toujours écrire le nom du théorème utilisé (réciproque ou contraposée) et conclure par une phrase complète. Attention aussi à bien identifier le plus grand côté avant de commencer les calculs.
Exercice 4 : Problèmes concrets (4 points)
Démarche pour résoudre un problème concret :
1. Lire l'énoncé et faire un schéma pour repérer le triangle rectangle. 2. Identifier l'angle droit, l'hypoténuse et les côtés connus. 3. Appliquer le théorème de Pythagore (addition si on cherche l'hypoténuse, soustraction si on cherche un côté). 4. Rédiger une phrase réponse complète qui reprend le contexte du problème.
Problème 1 : L'échelle
Une échelle de 5 mètres est posée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 3 mètres du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'angle droit se situe entre le mur et le sol. L'échelle (5 m) est l'hypoténuse car c'est le côté opposé à l'angle droit. Le sol mesure 3 m. On cherche la hauteur h sur le mur.
échelle² = sol² + hauteur²
h² = 5² - 3²
h² = 25 - 9
h² = 16
h = √16
h = 4 m
L'échelle touche le mur à 4 mètres de hauteur.
Problème 2 : Le terrain de football
Un terrain de football rectangulaire mesure 100 m de long et 75 m de large. Quelle est la longueur de la diagonale du terrain ?
Un rectangle possède quatre angles droits. La diagonale, la longueur et la largeur forment donc un triangle rectangle. La diagonale est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit du rectangle).
d² = longueur² + largeur²
d² = 100² + 75²
d² = 10 000 + 5 625
d² = 15 625
d = √15 625
d = 125 m
La diagonale du terrain de football mesure 125 mètres.
Conseil aux parents : si votre enfant a eu du mal à démarrer ces problèmes, le schéma est la clé. Encouragez-le à toujours dessiner la situation avant de commencer les calculs. Le dessin permet de visualiser le triangle rectangle et d'identifier clairement l'hypoténuse. Sans schéma, les élèves confondent souvent l'addition et la soustraction.
Exercice 5 : Problème avancé - Le bateau (4 points)
Un bateau quitte le port et navigue 24 km vers le Nord, puis 10 km vers l'Est.
a) Schéma de la situation (1 point) :
Le port est le point de départ. Le bateau se déplace d'abord de 24 km vers le Nord (vers le haut sur le schéma), puis de 10 km vers l'Est (vers la droite). Comme le Nord et l'Est forment un angle droit (90 degrés), le trajet dessine un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent 24 km et 10 km.
b) Distance à vol d'oiseau (2 points) :
Identification du triangle rectangle :
Le trajet Nord puis Est forme un angle droit. La distance directe (à vol d'oiseau) entre le port et la position finale du bateau est l'hypoténuse de ce triangle rectangle. Les deux côtés de l'angle droit mesurent 24 km (Nord) et 10 km (Est).
Soit d la distance Port-Bateau à vol d'oiseau. D'après le théorème de Pythagore :
d² = 24² + 10²
d² = 576 + 100
d² = 676
d = √676
d = 26 km
Le bateau se trouve à 26 km du port à vol d'oiseau.
c) Carburant pour le retour (1 point) :
Le bateau consomme 2 litres par kilomètre et doit parcourir 26 km pour rentrer directement au port.
Carburant = distance x consommation par km
Carburant = 26 x 2
Carburant = 52 litres
Il faudra 52 litres de carburant pour rentrer directement au port.
Remarque sur les triplets pythagoriciens :
Le triplet (10, 24, 26) est obtenu en multipliant le triplet de base (5, 12, 13) par 2. Connaître les triplets pythagoriciens courants, comme (3, 4, 5), (5, 12, 13) et (8, 15, 17), permet de vérifier rapidement ses résultats et de repérer d'éventuelles erreurs de calcul.
Conseil aux parents : si votre enfant a eu du mal avec ce problème en plusieurs parties, aidez-le à décomposer l'énoncé étape par étape. La première étape est toujours le schéma. Ensuite, chaque question se traite séparément. Pour la partie c), l'important est de bien réutiliser le résultat trouvé en b). Ce type d'exercice en plusieurs étapes est très fréquent au brevet des collèges.
Bilan et conseils pour progresser
Cette fiche d'exercices couvre les quatre grandes applications du théorème de Pythagore au programme du collège : le calcul de l'hypoténuse, le calcul d'un côté de l'angle droit, la vérification avec la réciproque, et les problèmes concrets. Le barème total est de 20 points. Pour progresser, il est essentiel de bien maîtriser les étapes de rédaction : énoncer le théorème, poser le calcul, effectuer les opérations et conclure avec une phrase. Les erreurs les plus courantes sont la confusion entre addition et soustraction, l'oubli de prendre la racine carrée à la fin, et l'absence de justification lors de l'utilisation de la réciproque. Un entraînement régulier avec des exercices variés permettra de consolider ces compétences fondamentales en géométrie.