Chaque corrigé montre d'abord comment le triangle rectangle apparait, puis la démonstration rédigée ligne par ligne, et enfin la phrase de conclusion qui répond au problème posé.
La modélisation d'abord : où se trouve l'angle droit, quel mot de l'énoncé le donne, et quel côté du triangle représente quoi dans la situation.
La démonstration ensuite, rédigée ligne par ligne, avec l'étape que les copies sautent — celle qui isole le carré cherché et transforme l'addition en soustraction.
Et la phrase de conclusion, qui revient à la question posée. Une réponse à un problème se termine par une phrase, pas par un nombre seul : on a résolu le triangle, pas encore le problème.
Toutes les longueurs sont données en valeur exacte avant leur arrondi, et simplifiées quand elles peuvent l'être — √12 s'écrit 2√3.
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L'échelle contre le mur
Un énoncé sans figure, et le mot qui donne l'angle droit.
La modélisation, et le mot de l'énoncé qui donne l'angle droit.
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Les deux calculs, dont un à valeur exacte irrationnelle.
La somme des deux carrés est fixée par la longueur de l'échelle : l'un croit quand l'autre décroit.
Le mot-clé
L'hypoténuse
La figure
La phrase finale
Le barème, exercice par exercice total : 20 points
Exercice 1 — Un énoncé sans figure8 points
Lis l'énoncé, puis réponds. Les deux premières questions ne demandent aucun calcul.
Un énoncé ne dit presque jamais « angle droit ». Il dit « vertical », « perpendiculaire », « d'équerre » ou « rectangle » — ce sont ces mots-là qu'on cherche.
C'est aussi le plus long des trois, ce qui se vérifie sur la situation : l'échelle est forcément plus longue que la distance au mur.
Une figure même approximative aide : elle montre quel côté est l'hypoténuse, ce que l'énoncé seul laisse deviner.
Exercice 2 — La figure, et le calcul6 points
Voici la figure attendue. Termine le problème.
L'hypoténuse est connue : on soustrait. Et la réponse tombe juste, parce que 3, 4 et 5 forment un triplet pythagoricien.
C'est la ligne qu'on saute le plus souvent : on a résolu le triangle, pas encore le problème.
Exercice 3 — La même échelle, écartée davantage6 points
On éloigne le pied du mur. Le résultat ne tombe plus rond, et ce n'est pas une erreur.
√12 se simplifie : on extrait le plus grand carré du radicande. La valeur exacte est 2√3, l'arrondi 3,5.
Le raisonnement se lit sur l'égalité : la somme des deux carrés est fixée, donc l'un croit quand l'autre décroit.
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La diagonale d'un rectangle
Le rectangle fournit l'angle droit gratuitement — le parallélogramme non.
Les deux diagonales, dont une irrationnelle.
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La méthode d'enchainement en quatre branches, et le piège de l'arrondi.
La règle vaut même quand la première hypoténuse tombe juste, pour n'avoir pas à se demander si elle s'applique.
Le premier triangle
L'emprunt
La valeur exacte
L'ordre
Le barème, exercice par exercice total : 20 points
Exercice 1 — La diagonale d'un pavé droit8 points
Un pavé droit mesure 8 cm sur 6 cm sur 5 cm. Sa grande diagonale ne se calcule pas d'un coup : elle demande deux triangles, donnés ici l'un après l'autre.
8, 6 et 10 forment un triplet pythagoricien. Cette diagonale tombe juste, ce qui simplifie la suite — mais la méthode ne dépend pas de cette chance.
Le second triangle emprunte AC au premier. √125 se simplifie en 5√5, soit environ 11,2.
Exercice 2 — La méthode, en quatre branches6 points
Complète la carte. La légende dit le piège.
L'ordre n'est pas au choix : on commence toujours par le triangle dont toutes les longueurs sont connues.
C'est vrai même quand la première hypoténuse tombe juste : la règle vaut pour ne pas avoir à se demander si elle s'applique.
Exercice 3 — Un enchainement à conduire seul6 points
Aucune figure cette fois. À toi de repérer les deux triangles.
160 n'est pas un carré parfait, mais il contient le carré 16 : la racine se simplifie.
On n'a jamais eu besoin de la valeur approchée de la première diagonale : c'est son CARRÉ qui entre dans le second calcul, et il est entier.
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Quand Pythagore ne s'applique pas
Sans angle droit, le théorème n'a rien à dire — même si les nombres s'y prêtent.
Les quatre énoncés triés, avec la justification de chacun.
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Le sommet de l'angle droit se choisit : c'est celui que les deux longueurs données ont en commun.
L'hypothèse
Le mot suspect
L'énoncé incomplet
L'encadrement
Le barème, exercice par exercice total : 20 points
Exercice 1 — Quatre énoncés à examiner8 points
Deux de ces énoncés permettent d'employer le théorème, deux non. Dis lesquels, et pourquoi.
L'hypothèse du théorème est l'angle droit. Sans elle, le théorème n'a rien à dire — même si les nombres se prêtent au calcul.
Employer le mot « hypoténuse » revient à supposer ce qu'il faudrait démontrer. C'est ce que la réciproque du théorème permet de trancher.
6, 8 et 10 : encore un triplet pythagoricien, et le double du plus connu, 3-4-5.
Exercice 2 — Six situations à trier6 points
Range chaque situation selon que le théorème s'y applique ou non.
Le tri se fait sur une seule question : un angle droit est-il donné, ou déductible d'une figure connue ?
L'angle droit vient parfois de la figure, parfois de l'outil de repérage. Dans les deux cas, il faut pouvoir le nommer.
Exercice 3 — Un énoncé à compléter6 points
Un énoncé incomplet ne se devine pas : il se complète.
Deux longueurs ne déterminent pas un triangle : il faut une troisième information, longueur ou angle.
Le sommet de l'angle droit se choisit : c'est celui que les deux longueurs données ont en commun.
Ce que le générateur refuse sur ces fiches
Une figure dont le tracé ne porterait pas les longueurs que ses cotes annoncent : chaque côté dessiné est mesuré et comparé à sa cote.
Une figure accompagnant une question « Calcule » sans marquer son inconnue. Une cote chiffrée est une donnée ; c'est le point d'interrogation qui dit ce qu'on cherche.
Un enchainement dont le second triangle n'emprunterait pas au premier son hypoténuse — la fiche n'enseignerait pas ce qu'elle annonce.
Un enchainement dont la seconde étape tomberait juste elle aussi : c'est le fait que la grande diagonale soit irrationnelle qui justifie de conserver la valeur exacte.
Deux distances dans un repère qui seraient toutes deux entières, ou toutes deux irrationnelles.
Une situation figurant des deux côtés d'un tri.
Un triangle déclaré non rectangle qui le serait, ou un triangle décrit comme impossible qui se fermerait.
Un détail de la couverture, et pourquoi il compte
La couverture montre quatre situations avec, par-dessus, le triangle rectangle à y voir. Le carré de l'angle droit est dessiné sur trois d'entre elles — mais pas sur le pavé droit.
La raison est géométrique : le pavé est représenté en perspective cavalière, et une perspective ne conserve pas la mesure des angles. Le triangle du pavé est bien rectangle dans l'espace, sa diagonale de base étant perpendiculaire à l'arête verticale ; il ne l'est pas sur la feuille. Y dessiner le carré serait affirmer un faux.
Le script de la couverture le vérifie avant de dessiner : pour chaque situation, il calcule le produit scalaire des deux vecteurs partant du sommet et refuse de produire l'image si le carré serait posé là où l'angle n'est pas droit — ou omis là où il l'est.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur pour la classe de quatrième en 2026-2027 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thèmes A et D. Le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) ne s'applique à ce niveau qu'à la rentrée 2027-2028, en vertu de son article 3 — vérifié au Bulletin officiel. Le moteur `pythagore_4eme` garde chaque racine sous sa forme exacte p√q et calcule son approximation par racine entière, sans nombre à virgule flottante dans ce qui s'imprime ; les figures sont tracées à l'échelle et chaque côté dessiné est mesuré pour vérifier qu'il porte la cote annoncée.
Rédaction : Fiches ScolairesMise à jour :
Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème D (« Représenter l'espace », « Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer ») et thème A (racine carrée, nombres irrationnels).
Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4 — BOEN n° 10 du 5 mars 2026, article 3 (calendrier d'application).
Questions fréquentes
Comment repérer l'angle droit dans un problème sans figure ?
En cherchant les mots qui le donnent. Un énoncé dit rarement « angle droit » : il dit « vertical » — un mur vertical est perpendiculaire au sol horizontal —, « perpendiculaire », « d'équerre », ou nomme une figure qui en contient. Un rectangle et un carré ont quatre angles droits, et leur diagonale les partage en deux triangles rectangles. Un repère orthogonal en fournit un à chaque paire de points, puisque ses axes sont perpendiculaires. Un losange ou un parallélogramme quelconque, en revanche, n'en ont aucun.
Comment calculer la distance entre deux points d'un repère ?
En plaçant un troisième point qui partage son abscisse avec l'un et son ordonnée avec l'autre : le triangle ainsi formé est rectangle, l'angle droit venant de la perpendicularité des axes. Les deux côtés de l'angle droit se lisent alors sur les coordonnées — la différence des abscisses et celle des ordonnées — et le théorème donne le carré de la distance. Pour A(1 ; 2) et B(4 ; 6), les écarts valent 3 et 4, donc AB² = 25 et AB = 5. L'ordre des soustractions n'importe pas, puisqu'on élève ensuite au carré.
Comment calculer la grande diagonale d'un pavé droit ?
En deux temps. On calcule d'abord la diagonale de la base, avec les deux dimensions du sol ; puis on l'utilise comme côté d'un second triangle rectangle, dont l'autre côté est la hauteur. Pour un pavé de 8 sur 6 sur 5 cm, la diagonale de la base vaut 10 cm, et la grande diagonale vaut √125, c'est-à-dire 5√5, soit environ 11,2 cm. Le point essentiel : ne pas arrondir entre les deux calculs, car l'erreur serait reprise et élevée au carré. On garde la valeur exacte, ou mieux, son carré.
Peut-on utiliser Pythagore sur n'importe quel triangle ?
Non. Le théorème a une hypothèse : le triangle doit être rectangle. Sans angle droit donné par l'énoncé ni déductible d'une figure connue, il ne s'applique pas — même si les nombres se prêtent au calcul. Un énoncé qui parle d'« hypoténuse » sans dire que le triangle est rectangle est d'ailleurs suspect : un triangle de côtés 6, 8 et 11 n'en a pas, puisque 6² + 8² = 100 alors que 11² = 121. Pour établir qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs, c'est la réciproque du théorème qu'il faut employer.
Sur le même chapitre
Exercices Pythagore 4èmeAvant les problèmes : reconnaitre l'hypoténuse et calculer une longueur.
