Ce que le programme demande vraiment
Cherchez « PGCD 3ème » et vous trouverez partout la même chose : la définition du plus grand commun diviseur, l'algorithme d'Euclide, et des fractions à simplifier. Ce n'est pas faux. Mais le programme du cycle 4 ne nomme le PGCD nulle part — pas une fois sur ses 689 lignes, et pas davantage l'algorithme d'Euclide ni le PPCM.
Ce qu'il demande porte un autre titre : « Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers ». Cinq connaissances y figurent — multiples et diviseurs, critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9, division euclidienne, définition d'un nombre premier avec la liste jusqu'à 30, fractions irréductibles — et une compétence centrale : décomposer un entier en produit de facteurs premiers.
La différence n'est pas cosmétique. Un élève qui ne sait que dérouler l'algorithme d'Euclide sait obtenir un nombre, et rien d'autre. Un élève qui sait décomposer 48 et 36 en facteurs premiers voit d'un coup ce qu'ils ont en commun, sait dire pourquoi, et peut répondre à des questions que l'algorithme ne permet pas de traiter.
Ces cinq fiches suivent donc les entrées du programme, dans l'ordre où elles s'appuient l'une sur l'autre. L'algorithme d'Euclide y figure quand même — il est dans le titre de cette page, et il mérite d'être connu — mais à sa place : comme une répétition de la division euclidienne, et comme l'un des trois chemins vers le même nombre.
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Multiples et diviseurs
Chercher les diviseurs par couples, et ne pas confondre les deux mots.
On cherche les diviseurs de 546 par COUPLES : dès qu'on en trouve un petit, le grand vient avec. 1 va avec 546, 2 avec 273, 3 avec 182, et ainsi de suite. Huit couples, seize diviseurs.
Cette méthode explique aussi quand s'arrêter. Au-delà de la racine carrée du nombre, le petit deviendrait plus grand que son complice et l'on retrouverait des couples déjà écrits à l'envers. Comme 23² = 529 et 24² = 576, on s'arrête après 23 — ce qui divise le travail par deux.
Le deuxième exercice fait cocher les diviseurs de 84 dans une liste de quinze nombres, puis pose la question qui sépare les deux mots : 84 est-il un multiple de 7, ou un diviseur de 7 ? Les deux expressions décrivent la même relation, mais dans des sens opposés.
Le dernier exercice modélise un problème : un fleuriste a 546 roses et 210 tulipes, et veut des bouquets identiques sans qu'il reste rien. Traduire « toutes les fleurs sont utilisées » par « le reste est nul » est exactement le geste que le programme appelle modéliser.
« a est un diviseur de b » et « b est un multiple de a » disent exactement la même chose.
- Par couples
- Jusqu'à la racine
- Multiple
- Diviseur
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Les critères de divisibilité
Répondre sans diviser, et savoir pourquoi 9 entraine 3.
Les critères par 2, 3, 5, 9 et 10 sont nommés par le programme, et ils ne figuraient pas une fois sur la page que ces fiches remplacent. Un critère porte sur l'ÉCRITURE du nombre, jamais sur sa valeur : c'est ce qui permet de répondre de tête.
Douze nombres, tous divisibles par 3, sont à ranger selon qu'ils le sont aussi par 9. Six d'un côté, six de l'autre — et la question qui suit : un nombre peut-il être divisible par 9 sans l'être par 3 ?
Jamais. Si la somme des chiffres est divisible par 9, elle l'est aussi par 3, puisque 9 est un multiple de 3. C'est pourquoi la colonne « par 3 sans être par 9 » existe, et la colonne inverse non.
Le dernier exercice applique les cinq critères au nombre 2 520 sans poser une seule division, puis fait remarquer qu'ils se combinent : divisible par 2 et par 5, donc par 10 ; par 2 et par 9, donc par 18.
Un critère fait gagner du temps là où l'on en a besoin : pour trouver les premiers facteurs d'une décomposition.
- Par 2
- Par 3 et 9
- Par 5 et 10
- Sans diviser
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La division euclidienne, et l'algorithme d'Euclide
Une égalité qui se vérifie seule, et sa répétition.
La division euclidienne s'écrit « dividende = diviseur × quotient + reste », avec une condition qui la rend unique : le reste est compris entre 0 et le diviseur exclu. C'est cette condition qui interdit au reste de valoir le diviseur.
L'algorithme d'Euclide n'est que la répétition de cette division. À chaque étape, le diviseur devient le dividende et le reste devient le diviseur. Sur 546 et 210, quatre divisions suffisent, et le dernier reste non nul vaut 42.
Il s'arrête forcément, et l'on peut le prouver : le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur, donc la suite des restes décroit — et une suite d'entiers positifs qui décroit finit par atteindre 0.
Un document situe l'algorithme : Euclide l'a écrit vers 300 avant notre ère, les ordinateurs l'emploient encore, et le programme du cycle 4 ne le demande pas. Ce qu'il demande, c'est la division euclidienne dont l'algorithme n'est qu'une répétition.
Chaque égalité se vérifie seule : on multiplie, on ajoute le reste, on doit retomber sur le dividende.
- Quotient
- Reste
- L'égalité
- La répétition
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Les nombres premiers et la décomposition
La carte d'identité d'un nombre, et les trois façons de la rater.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Le programme demande de connaitre la liste jusqu'à 30 — dix nombres — et de savoir déterminer ceux qui vont jusqu'à 100.
Décomposer un entier en produit de facteurs premiers, c'est écrire sa carte d'identité : chaque entier supérieur à 1 en a une seule, à l'ordre des facteurs près. C'est pourquoi deux décompositions différentes signalent forcément une erreur.
Cinq copies sont à corriger, et les trois fausses le sont pour trois raisons distinctes : l'une s'arrête sur un facteur qui n'est pas premier, l'autre déclare premier un nombre qui ne l'est pas, la troisième s'arrête sur deux facteurs composés.
Comment être sûr que 91 n'est pas premier sans tout essayer ? En n'essayant que les nombres premiers jusqu'à la racine — 2, 3, 5 et 7, puisque 10² dépasse déjà 91. C'est le même raisonnement que celui des couples de diviseurs.
Une décomposition n'est finie que si TOUS ses facteurs sont premiers.
- Deux diviseurs
- La liste jusqu'à 30
- Décomposer
- Le crible
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Rendre une fraction irréductible
Trois chemins, un seul résultat — et des couts différents.
La fraction 48/36 est celle que la page d'origine prenait pour exemple. Elle est ici simplifiée de trois façons : pas à pas, par la décomposition, par l'algorithme d'Euclide. Les trois donnent 12, et donc la même fraction irréductible.
Ce qui change, c'est le cout. Trois divisions successives pour la première méthode, deux divisions puis une pour Euclide, une seule division pour la décomposition — une fois les deux décompositions écrites.
Un problème d'engrenages suit, et ce n'est pas un hasard : c'est l'exemple que le programme cite lui-même pour les problèmes de divisibilité. Deux roues de 48 et 36 dents ; au bout de combien de dents les repères se retrouvent-ils face à face ?
Il faut cette fois le plus petit multiple commun, et la décomposition le donne aussi : on prend le plus GRAND exposant de chaque facteur au lieu du plus petit. La même écriture répond aux deux questions.
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1.
- Pas à pas
- Décomposition
- Euclide
- Engrenages
Compétences travaillées
-
Chercher
Tous les diviseurs d'un nombre, par couples.
-
Décider
Les critères par 2, 3, 5, 9 et 10, sans poser de division.
-
Décomposer
La carte d'identité d'un entier en facteurs premiers.
-
Simplifier
Rendre une fraction irréductible en une seule division.
Le PGCD n'est pas au programme du cycle 4
L'affirmation surprend, et elle se vérifie : sur les 689 lignes du programme de mathématiques du cycle 4 — arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020 — les sigles PGCD et PPCM, ainsi que le nom d'Euclide, comptent zéro occurrence.
Ce qui y figure est l'attendu « Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers », avec ses cinq connaissances : multiples et diviseurs ; critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 ; division euclidienne, quotient et reste ; définition d'un nombre premier et liste jusqu'à 30 ; fractions irréductibles. Et ses compétences, dont la principale : décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers.
Cela ne rend pas le PGCD interdit, ni inutile. La compétence « simplifier une fraction pour la rendre irréductible » suppose bien qu'on trouve le plus grand diviseur commun ; le programme demande simplement qu'on y arrive par la décomposition, qui montre POURQUOI ce nombre est le bon, plutôt que par un algorithme qui le produit sans l'expliquer.
Ces fiches gardent donc le PGCD et l'algorithme d'Euclide — le titre de cette page les promet, et il vaut mieux les connaitre — mais elles enseignent d'abord ce qui est exigé, et montrent ensuite que les trois chemins mènent au même nombre.
Pourquoi la décomposition vaut mieux qu'un algorithme
Prenons 48 et 36. L'algorithme d'Euclide donne 12 en deux divisions, et s'arrête là. La décomposition donne 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 et 36 = 2 × 2 × 3 × 3, et l'on VOIT ce que les deux nombres ont en commun : deux facteurs 2 et un facteur 3, soit 12.
La différence apparait dès qu'on change de question. Combien 48 a-t-il de diviseurs ? La décomposition répond immédiatement. Quel est le plus petit multiple commun de 48 et 36 ? La même écriture le donne, en prenant cette fois le plus grand exposant de chaque facteur au lieu du plus petit : 144. L'algorithme d'Euclide, lui, ne répond à aucune de ces deux questions.
C'est aussi ce qui rend la décomposition utile bien au-delà de la troisième. Elle est le socle de tout ce qui suit en arithmétique, et le fait qu'elle soit unique — à l'ordre des facteurs près — est un théorème qu'on retrouvera plus tard sous son nom.
Dernière raison, plus terre à terre : un élève qui décompose contrôle son travail. Il remultiplie ses facteurs et retombe sur son nombre. Un élève qui déroule un algorithme n'a rien à vérifier, et ne s'aperçoit pas d'une erreur de division.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème A « Nombres et calculs », attendu « Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers ». L'arrêté du 18 février 2026 refond ce programme, mais son article 3 en échelonne l'entrée en vigueur et la troisième n'est concernée qu'à la rentrée 2028-2029. Le moteur `pgcd_3eme` calcule les diviseurs par couples, écrit chaque critère de divisibilité comme une règle sur l'écriture du nombre et le confronte à la divisibilité réelle, produit les nombres premiers par deux voies indépendantes, et obtient le plus grand diviseur commun de trois façons distinctes qu'il vérifie les unes par les autres.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème A, attendu de fin de cycle « Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers ». Connaissances : « Multiples et diviseurs. Critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9. Division euclidienne (quotient, reste). Définition d'un nombre premier ; liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à 30. Fractions irréductibles. »
- Même entrée, compétences associées : « Déterminer si un entier est ou n'est pas multiple ou diviseur d'un autre entier. Déterminer les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100. Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10. Déterminer les diviseurs d'un nombre à la main, à l'aide d'un tableur, d'une calculatrice. Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers (à la main ou à l'aide d'un logiciel). Simplifier une fraction pour la rendre irréductible. Modéliser et résoudre des problèmes mettant en jeu la divisibilité (engrenages, conjonction de phénomènes, etc.). »
- Recherche menée sur le texte intégral du programme du cycle 4 : les chaines « PGCD », « PPCM » et « Euclide » y comptent zéro occurrence.
