Correction - Exercices PGCD 3ème avec Corrigé - Algorithme d'Euclide PDF Gratuit
Aperçu de la correction
Correction : comment derouler l'algorithme d'Euclide sans se tromper
Cette correction ne se contente pas de te donner les resultats. Elle decompose chaque etape pour que tu comprennes exactement ou tes erreurs se situent. Si tu as le bon resultat final mais que ta redaction est bancale, tu perdras des points au brevet. Si tu as un mauvais resultat mais une demarche coherente, tu en recupereras une partie. Dans les deux cas, cette correction va t'aider a progresser.
L'algorithme d'Euclide etape par etape : la redaction modele
Prenons un exemple complet : calculer PGCD(322, 138). Voici exactement ce que tu dois ecrire sur ta copie, ligne par ligne.
Ligne 1 : 322 = 138 x 2 + 46
Ligne 2 : 138 = 46 x 3 + 0
Conclusion : Le dernier reste non nul est 46, donc PGCD(322, 138) = 46.
Pourquoi cette presentation ? Parce que le correcteur du brevet peut suivre ton raisonnement ligne apres ligne. Chaque egalite a la forme a = b x q + r. Le dividende (a) est a gauche, le diviseur (b) est multiplie par le quotient (q), et le reste (r) est ajoute. A la ligne suivante, l'ancien diviseur devient le nouveau dividende, et l'ancien reste devient le nouveau diviseur. On continue jusqu'a ce que le reste soit zero.
Comment verifier chaque ligne : multiplie le diviseur par le quotient et ajoute le reste. Tu dois retomber sur le dividende. Pour la ligne 1 : 138 x 2 + 46 = 276 + 46 = 322. C'est bon. Verifie aussi que le reste est bien positif et strictement inferieur au diviseur : 46 > 0 et 46 < 138. Si une de ces conditions n'est pas remplie, ta division euclidienne est fausse.
Verifier qu'une fraction est irreductible
Apres avoir simplifie une fraction grace au PGCD, il faut prouver que le resultat est bien irreductible. Beaucoup d'eleves oublient cette etape et perdent un ou deux points. La methode est pourtant rapide.
Exemple : on a simplifie 322/138 par 46 et on obtient 7/3. Pour prouver que 7/3 est irreductible, on calcule PGCD(7, 3) : 7 = 3 x 2 + 1, puis 3 = 1 x 3 + 0. Donc PGCD(7, 3) = 1. Les nombres 7 et 3 sont premiers entre eux, donc la fraction 7/3 est irreductible. Cette conclusion en une phrase, c'est ce qui rapporte le dernier point de l'exercice.
Erreur frequente : simplifier sans passer par le PGCD
En 6eme ou en 5eme, on simplifiait les fractions par tatonnement : on divise par 2, puis encore par 2, puis par 3, etc. En 3eme, cette methode ne suffit plus. Ton professeur exige le PGCD pour deux raisons. D'abord, ca garantit que tu simplifies directement au maximum. Ensuite, ca fournit une preuve que la fraction obtenue est irreductible. Simplifier 48/36 par 2 pour obtenir 24/18, puis par 2 pour obtenir 12/9, puis par 3 pour obtenir 4/3 — ca donne le bon resultat, mais ca ne prouve rien. Avec le PGCD : PGCD(48, 36) = 12, donc 48/36 = 4/3, et PGCD(4, 3) = 1 donc la fraction est irreductible. Trois lignes, demontration complete.
Les problemes de partage : decrypter l'enonce
Les problemes de partage sont ceux qui posent le plus de difficultes, non pas par le calcul, mais par la lecture de l'enonce. Voici les mots-cles qui doivent t'alerter : "parts egales", "identiques", "maximum de", "sans qu'il reste". Quand tu vois ces expressions, c'est un probleme de PGCD.
Prenons : "Un fleuriste dispose de 180 roses et 126 iris. Il veut composer le plus grand nombre possible de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. Combien de bouquets peut-il faire ?" La demarche complete :
Etape 1 — Algorithme d'Euclide :
180 = 126 x 1 + 54
126 = 54 x 2 + 18
54 = 18 x 3 + 0
Donc PGCD(180, 126) = 18.
Etape 2 — Interpretation :
Le fleuriste peut faire 18 bouquets. Chaque bouquet contiendra 180 / 18 = 10 roses et 126 / 18 = 7 iris.
Etape 3 — Verification :
18 x 10 = 180 roses (total utilise). 18 x 7 = 126 iris (total utilise). Aucune fleur perdue. Le nombre 18 est bien le maximum car tout diviseur commun de 180 et 126 est inferieur ou egal au PGCD.
Les erreurs les plus frequentes dans les copies corrigees
| Ce que l'eleve ecrit | Ce qui ne va pas | Ce qu'il fallait ecrire |
|---|---|---|
| "PGCD = 18 car 18 divise 180 et 126" | Ca prouve que 18 est un diviseur commun, pas que c'est le PLUS GRAND | Derouler l'algorithme d'Euclide complet |
| "180 / 126 = 1,42..." | Division decimale au lieu de division euclidienne | 180 = 126 x 1 + 54 (ecrire quotient entier + reste) |
| "La fraction est irreductible car on ne peut plus simplifier" | Pas de preuve mathematique, juste une affirmation | "PGCD(7, 3) = 1, donc 7 et 3 sont premiers entre eux, la fraction est irreductible" |
Le lien avec la decomposition en facteurs premiers
Il existe une deuxieme methode pour trouver le PGCD : la decomposition en facteurs premiers. Par exemple, 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 et 126 = 2 x 3 x 3 x 7. Le PGCD, c'est le produit des facteurs communs avec la plus petite puissance : 2 x 3 x 3 = 18. Cette methode est plus visuelle mais plus longue que l'algorithme d'Euclide pour les grands nombres. Au brevet, les deux methodes sont acceptees, mais Euclide est souvent plus rapide.
Quel que soit ton choix de methode, le plus important reste la rigueur de la redaction. Un algorithme d'Euclide bien pose avec une conclusion claire, ou une decomposition propre avec le PGCD identifie — les deux rapportent tous les points. Ce qui ne rapporte pas de points, c'est un resultat balance sans justification. En mathematiques, le chemin compte autant que la destination.
Conseil final pour le brevet : quand un exercice te demande de "montrer que la fraction est irreductible", il y a deux etapes obligatoires — calculer le PGCD du numerateur et du denominateur, puis conclure que ce PGCD vaut 1. Si tu sautes une de ces deux etapes, tu n'as pas "montre", tu as "affirme". Et en maths, affirmer sans demontrer, ca ne compte pas.