Corrigés — Divisibilité et nombres premiers 3ème

Exercice 1 — Tous les diviseurs de 546 8 points

On cherche les diviseurs par COUPLES : dès qu'on en trouve un petit, le grand vient avec.

• Chaque ligne se vérifie en multipliant : le produit doit redonner 546.
• Cela divise le travail par deux, et c'est ce qui rend la recherche faisable à la main.
• Chaque couple en donne deux, sauf si le nombre est un carré parfait — ce qui n'est pas le cas ici.

Exercice 2 — Diviseurs de 84 6 points

Coche les nombres qui divisent 84.

• Un diviseur laisse un reste nul : 84 ÷ 8 donne 10 et il reste 4, donc 8 n'est pas un diviseur.
• « a est un diviseur de b » et « b est un multiple de a » disent exactement la même chose.

Exercice 3 — Un problème de divisibilité 6 points

Un fleuriste dispose de 546 roses et de 210 tulipes. Il veut composer des bouquets identiques, en utilisant toutes ses fleurs.

• Traduire « toutes les fleurs sont utilisées » par « le reste est nul » est le geste attendu.
• Il suffit de croiser les deux listes de diviseurs. Le plus grand fait l'objet de la fiche 5.

Exercice 1 — Trier sans diviser 8 points

Douze nombres, tous divisibles par 3. Range-les selon qu'ils le sont aussi par 9.

• La somme des chiffres est divisible par 3 ; la somme des chiffres est divisible par 9. On additionne, on regarde, on ne divise jamais.
• 9 = 3 × 3 : ce qui contient trois fois un facteur le contient au moins une fois.
• Deux critères, deux regards sur le même chiffre des unités.

Exercice 2 — Quatre affirmations 6 points

Une seule réponse est juste à chaque ligne.

• Un critère porte sur l'ÉCRITURE du nombre, pas sur sa valeur : c'est ce qui permet de répondre de tête.
• C'est l'outil qu'on emploie pour trouver les premiers facteurs d'une décomposition.

Exercice 3 — Sans poser une seule division 6 points

On considère le nombre 2 520.

• La somme des chiffres sert deux fois : pour 3 et pour 9.
• Attention : cela ne marche que si les facteurs n'ont pas de diviseur commun autre que 1.

Exercice 1 — Enchainer les divisions 8 points

Chaque étape reprend le diviseur et le reste de la précédente.

• Chaque égalité se vérifie seule : on multiplie, on ajoute le reste, on doit retomber sur le dividende.
• Le dernier reste non nul est aussi le diviseur de la dernière ligne, celle dont le reste vaut 0.
• C'est la condition 0 ≤ reste < diviseur qui le garantit, et c'est elle qui rend la division euclidienne unique.

Exercice 2 — Lire la méthode 6 points

Lis le document, puis réponds.

• C'est la seule règle : tout le reste en découle.
• Le connaitre ne nuit pas : c'est un bon moyen de s'entrainer à la division euclidienne.

Exercice 3 — Une division, et ce qu'elle garantit 6 points

On divise 1 449 par 26.

• On vérifie en remultipliant : le résultat doit redonner exactement le dividende.
• C'est cette condition qui rend le couple (quotient, reste) unique.

Exercice 1 — Chaque nombre, sa décomposition 8 points

Relie chaque nombre au produit de facteurs premiers qui lui correspond.

• On divise par le plus petit facteur premier possible, puis on recommence sur le quotient.
• Comparer deux décompositions facteur par facteur est ce qui donnera la fraction irréductible.
• C'est pourquoi deux décompositions différentes signalent forcément une erreur.

Exercice 2 — Cinq copies à corriger 6 points

Trois de ces copies se trompent, pour trois raisons différentes.

• Une décomposition n'est finie que si TOUS les facteurs sont premiers.
• C'est le même raisonnement que pour les diviseurs par couples, à la fiche 1.

Exercice 3 — La liste à connaitre 6 points

Le programme demande de connaitre les nombres premiers inférieurs ou égaux à 30.

• Ils commencent par 2, le seul nombre premier pair : tous les autres pairs ont 2 pour diviseur.
• C'est le crible d'Ératosthène : on ne teste pas, on raye.

Exercice 1 — Trois chemins, un seul résultat 8 points

La même fraction, simplifiée de trois façons.

• Le résultat est le même ; c'est le nombre d'opérations qui change.
• Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1.
• Deux nombres premiers entre eux ne sont pas forcément premiers : 4 et 9 le sont l'un envers l'autre, sans être premiers.

Exercice 2 — Les engrenages 6 points

Lis le problème, puis réponds.

• Pour un multiple commun on prend le plus GRAND exposant de chaque facteur ; pour un diviseur commun, le plus petit.
• Vérifier que la petite roue fait plus de tours est un bon contrôle de vraisemblance.

Exercice 3 — Trois fractions à réduire 6 points

Rends chaque fraction irréductible, et dis par combien tu as divisé.

• Les décompositions sont déjà écrites à la fiche 4 pour deux de ces nombres.
• Si l'on a divisé par le plus grand diviseur commun, c'est fini dès la première division.