Corrigés — Limites de fonctions Terminale

Exercice 1 — Six limites de référence 8 points

Le programme cite trois familles : « puissances entières, racine carrée, fonction exponentielle ». Voici leurs limites aux bornes.

• Ces six limites ne se démontrent pas au tableau : elles se connaissent, et tout le reste s'y ramène.
• La parité de l'exposant décide du signe : c'est la seule chose à retenir sur les puissances.
• « Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire que la forme ne suffit pas à conclure.

Exercice 2 — Quatre questions à trancher 6 points

Une seule réponse est juste à chaque ligne.

• Le logarithme n'est pas dans la liste des fonctions de référence de cette entrée : il a la sienne.
• C'est la distinction que le générateur de ces fiches applique : il refuse d'attribuer une limite à une fonction qui oscille.

Exercice 3 — Les opérations sur les limites 6 points

Le programme les admet : « Les opérations sur les limites sont admises. » Encore faut-il savoir quand elles s'appliquent.

• Le signe de la limite finie compte : si g tendait vers −5, les deux produits changeraient de signe.
• Deux des quatre formes indéterminées viennent des produits et quotients : 0 × ∞ et ∞/∞.

Exercice 1 — Quatre étapes, un polynôme 8 points

On cherche la limite de 3x^3 − 2x^2 + 5 en +∞. La somme présente une forme +∞ − +∞.

• Le terme prépondérant est celui de plus haut DEGRÉ, et non celui dont le coefficient est le plus grand.
• Un calcul numérique ne démontre rien, mais il rassure — et il attrape une erreur de signe.
• C'est la même idée appliquée deux fois : la forme ∞/∞ se lève exactement comme la forme ∞ − ∞.

Exercice 2 — Cinq copies à corriger 6 points

Trois de ces copies se trompent, pour trois raisons différentes.

• Les trois erreurs viennent d'une lecture trop rapide : la méthode, elle, est courte.
• Une forme indéterminée n'est pas un obstacle, c'est une consigne : il faut travailler l'expression.

Exercice 3 — Un quotient de deux polynômes 6 points

On cherche la limite de (2x^2 + 3x − 1) ÷ (5x^2 − x + 4) en +∞. La forme est ∞/∞.

• Quand les deux degrés sont égaux, la limite est le quotient des coefficients de tête — mais il faut l'établir, pas le réciter.
• Trois cas selon les degrés : limite nulle, quotient des coefficients, ou infini.

Exercice 1 — Le constat, puis la démonstration 8 points

Le programme range parmi les DÉMONSTRATIONS exigibles la « croissance comparée » des puissances de x et de l'exponentielle en +∞. On commence par la constater.

• Un tableau de valeurs SUGGÈRE ; il ne démontre pas. C'est la différence que le baccalauréat sanctionne.
• Quatre points, mille points : c'est toujours un nombre fini de points.
• Retourner un quotient retourne la conclusion : c'est souvent la forme sous laquelle l'énoncé la demande.

Exercice 2 — Lire une démonstration 6 points

Voici la démonstration attendue. Lis-la, puis réponds.

• Une démonstration part toujours d'un résultat déjà acquis : le repérer est la première chose à faire.
• Pour conclure à +∞, une minoration suffit ; le théorème des gendarmes serait inutilement coûteux.

Exercice 3 — Appliquer la croissance comparée 6 points

Le résultat sert surtout à lever des indéterminations.

• Écrire exp(−x) comme 1 ÷ exp(x) est le geste qui ramène à la croissance comparée.
• On factorise par le terme qui l'emporte : ici l'exponentielle, et non la puissance.

Exercice 1 — Une borne, ou deux ? 8 points

Le programme écrit « des majorations, minorations OU encadrements ». Ce sont trois outils distincts, et l'on n'en emploie qu'un à la fois.

• On choisit l'outil d'après la conclusion visée, et non l'inverse.
• C'est le cas que la page remplacée ne traite pas : elle ne connait que l'encadrement.
• Diviser une inégalité par un nombre POSITIF en conserve le sens : c'est pourquoi l'on précise « pour x assez grand ».

Exercice 2 — Quatre situations, quatre outils 6 points

Relie chaque conclusion à l'outil qui la permet.

• Un encadrement dont les deux bornes n'ont pas la même limite ne permet rien : c'est l'erreur la plus fréquente sur les gendarmes.
• Deux gendarmes qui ne vont pas au même endroit n'encadrent personne.

Exercice 3 — Une minoration à construire 6 points

On étudie ƒ(x) = x + sin(x) en +∞.

• On minore par le plus simple qui suffise : chercher aussi une majorante ne servirait à rien.
• Employer les gendarmes pour conclure à l'infini est une confusion d'outil, pas une erreur de calcul.

Exercice 1 — Une fonction, trois limites 8 points

On étudie ƒ(x) = (3x + 1)/(x − 2), définie pour x différent de 2.

• Une asymptote n'est jamais une notion à part : c'est la lecture graphique d'une limite.
• C'est la technique de la deuxième fiche, appliquée à un quotient.
• Devant une asymptote verticale, on étudie toujours le SIGNE du dénominateur des deux côtés.

Exercice 2 — Quatre affirmations 6 points

Une seule réponse est juste à chaque ligne.

• Une courbe peut couper son asymptote : l'asymptote décrit un comportement à l'infini, pas une interdiction.
• On étudie toujours les deux bornes séparément : rien n'oblige les limites à se ressembler.

Exercice 3 — Une seconde fonction 6 points

On étudie maintenant g(x) = x^2 ÷ (x − 1), définie pour x différent de 1.

• Une fonction peut avoir une asymptote verticale sans en avoir d'horizontale : les deux questions sont indépendantes.
• Comparer les degrés donne la réponse avant tout calcul : c'est le premier réflexe.