Correction - Exercices Type Bac Limites de Fonctions Terminale (PDF + Corrigé)

1. lim_x→+∞ (3x² − 5x + 1) = +∞ → réponse b). Polynôme de plus haut degré 3x² → +∞.
2. lim_x→+∞ 2x + 1x − 3 = 2 → réponse b). Quotient de polynômes de même degré, on prend le quotient des coefficients dominants : 2/1 = 2.
3. lim_x→+∞ e^−x = 0 → réponse a). e^−x = 1e^x et lim e^x = +∞ donc lim 1e^x = 0.
4. lim_x→0⁺ 1x = +∞ → réponse b). Référence classique : 1x → +∞ par valeurs supérieures.

1. lim_x→+∞ (4x³ − 7x + 2)

En +∞, on ne garde que le terme de plus haut degré : 4x³. Comme x³ → +∞ et 4 > 0 :

lim_x→+∞ (4x³ − 7x + 2) = +∞

2. lim_x→−∞ (−2x⁴ + 3x²)

Terme dominant : −2x⁴. Comme x⁴ → +∞ et −2 < 0 :

lim_x→−∞ (−2x⁴ + 3x²) = −∞

3. lim_x→+∞ 5x² + 1x³

Pour un quotient de polynômes, on garde les termes dominants : 5x²x³ = 5x. Or 5x → 0 quand x → +∞.

lim_x→+∞ 5x² + 1x³ = 0

4. lim_x→2 x² − 4x − 2

Forme indéterminée 0/0. On factorise : x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Donc :

x² − 4x − 2 = (x − 2)(x + 2)x − 2 = x + 2 (pour x ≠ 2)

lim_x→2 (x + 2) = 4

lim_x→2 x² − 4x − 2 = 4

1. lim_x→+∞ 3x² + 2x − 1x² − 5 — FI de type ∞/∞

On factorise numérateur et dénominateur par x² :

3x² + 2x − 1x² − 5 = x²(3 + 2/x − 1/x²)x²(1 − 5/x²)

= 3 + 2/x − 1/x²1 − 5/x²

Quand x → +∞ : 2/x → 0, 1/x² → 0, 5/x² → 0. Donc le quotient tend vers 3.

lim = 3

2. lim_x→+∞ (x² − 3x) — FI de type ∞ − ∞

On factorise par x² :

x² − 3x = x²(1 − 3x)

Quand x → +∞ : x² → +∞ et 1 − 3/x → 1. Produit : +∞ × 1 = +∞.

lim = +∞

3. lim_x→3 x² − 9x − 3 — FI 0/0

On factorise : x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Donc :

x² − 9x − 3 = x + 3 (pour x ≠ 3)

lim_x→3 (x + 3) = 6

lim = 6

4. lim_x→+∞ e^xx⁵ — Croissances comparées

D'après le théorème de croissances comparées : pour tout entier n, lim_x→+∞ e^xxⁿ = +∞.

lim_x→+∞ e^xx⁵ = +∞

f(x) = sin(x)x sur ]0 ; +∞[.

1. Encadrement (1 pt)

Pour tout réel x, on sait que −1 ≤ sin(x) ≤ 1.

Pour x > 0, on divise les trois membres par x (qui est positif, l'inégalité reste dans le même sens) :

−1x ≤ sin(x)x ≤ 1x

Donc : −1x ≤ f(x) ≤ 1x. ✓

2. Calcul des limites (0,5 pt)

lim_x→+∞ 1x = 0 (référence)
lim_x→+∞ −1x = 0

3. Application du théorème des gendarmes (1,5 pt)

On a pour tout x > 0 : −1x ≤ f(x) ≤ 1x.

Les deux fonctions « gendarmes » −1x et 1x ont la même limite 0 en +∞.

D'après le théorème des gendarmes :

lim_x→+∞ sin(x)x = 0

g(x) = 3x + 1x − 2 sur ℝ \ {2}.

1. Limites en ±∞ et asymptote horizontale (1,5 pt)

g(x) = 3x + 1x − 2. On factorise par x au numérateur et au dénominateur :

g(x) = x(3 + 1/x)x(1 − 2/x) = 3 + 1/x1 − 2/x

Quand x → +∞ : 3 + 01 − 0 = 3.
Quand x → −∞ : pareil, 3.

→ La droite y = 3 est asymptote horizontale à la courbe en +∞ et en −∞.

2. Limites en 2 et asymptote verticale (1,5 pt)

Quand x → 2 : numérateur → 3×2 + 1 = 7 (non nul) ; dénominateur → 0.

Étudions le signe de (x − 2) :

• Pour x → 2⁺ (x un peu > 2) : x − 2 → 0⁺, donc g(x) → 70⁺ = +∞.
• Pour x → 2⁻ (x un peu < 2) : x − 2 → 0⁻, donc g(x) → 70⁻ = −∞.

→ La droite x = 2 est asymptote verticale à la courbe.

h(x) = (x² + 2x) e^−x sur ℝ.

1. Limite en −∞ (0,75 pt)

Quand x → −∞ : x² + 2x → +∞ (terme dominant x²).
Et e^−x = 1e^x. Or quand x → −∞, e^x → 0⁺, donc e^−x → +∞.

Produit : (+∞) × (+∞) = +∞.

lim_x→−∞ h(x) = +∞

2. Limite en +∞ (1 pt)

Quand x → +∞ : x² + 2x → +∞ et e^−x → 0⁺. C'est une FI de type ∞ × 0.

On écrit : h(x) = (x² + 2x) e^−x = x² + 2xe^x = x²e^x + 2xe^x.

Par croissances comparées : lim_x→+∞ x²e^x = 0 et lim_x→+∞ xe^x = 0.

lim_x→+∞ h(x) = 0

3. Asymptote (0,25 pt)

Comme lim_x→+∞ h(x) = 0, la droite y = 0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe de h en +∞.

📊 Barème global / 20

• Exercice 1 (QCM) : 4 pts
• Exercice 2 (Limites simples) : 4 pts
• Exercice 3 (FI) : 4 pts
• Exercice 4 (Gendarmes) : 3 pts
• Exercice 5 (Asymptotes) : 3 pts
• Exercice 6 (Synthèse) : 2 pts

Note moyenne attendue Terminale spé : 12-14/20.

🎓 Conseils pour le Bac

• Apprends par cœur les limites de référence et les croissances comparées.
• Pour chaque limite, écris « d'après … » en citant le théorème ou la limite usuelle utilisée.
• Les correcteurs adorent les solutions rédigées : conclus chaque calcul par « donc lim = … ».
• Pour les FI, mentalise les 4 types (∞ − ∞, ∞/∞, 0 × ∞, 0/0) et leur méthode de levée.
• Pratique-toi régulièrement avec d'anciens sujets de Bac (Annabac, sujets corrigés en ligne).