Correction - Exercices Géométrie dans l'Espace Terminale Maths (PDF + Corrigé) - Droites, plans, intersections et distances
Aperçu de la correction
Correction des exercices de géométrie dans l'espace — Terminale Mathématiques (PDF + Corrigé)
Voici la correction complète et détaillée de la fiche d'exercices sur la géométrie dans l'espace en Terminale. Chaque question est corrigée étape par étape avec les formules utilisées, les calculs intermédiaires et les justifications nécessaires. Comparez attentivement vos réponses avec cette correction pour identifier vos erreurs.
CORRECTION — EXERCICES DE MATHÉMATIQUES
Géométrie dans l'espace — Classe de Terminale (PDF + Corrigé)
Exercice 1 — Coordonnées et vecteurs dans l'espace (5 points)
Rappel : A(1 ; 2 ; 3), B(4 ; 0 ; −1), C(−1 ; 3 ; 2), D(2 ; 5 ; 0)
1. Coordonnées de AB et CD :
AB = (4−1 ; 0−2 ; −1−3) = (3 ; −2 ; −4)
CD = (2−(−1) ; 5−3 ; 0−2) = (3 ; 2 ; −2)
2. Colinéarité de AB et CD :
Si AB et CD sont colinéaires, il existe k ∈ ℝ tel que AB = k·CD.
On aurait : 3 = 3k ⟹ k = 1
Vérifions : −2 = 2×1 = 2 ≠ −2. Contradiction !
Les vecteurs AB et CD ne sont pas colinéaires.
3. Norme de AB :
‖AB‖ = √(3² + (−2)² + (−4)²) = √(9 + 4 + 16) = √29 ≈ 5,4
4. Milieu M de [AB] :
M = ((1+4)/2 ; (2+0)/2 ; (3+(−1))/2) = (5/2 ; 1 ; 1)
5. Point E tel que ABCE soit un parallélogramme :
ABCE est un parallélogramme ⟺ AB = CE
CE = (xE−(−1) ; yE−3 ; zE−2) = (3 ; −2 ; −4)
xE = −1 + 3 = 2 ; yE = 3 + (−2) = 1 ; zE = 2 + (−4) = −2
E(2 ; 1 ; −2)
Exercice 2 — Représentation paramétrique d'une droite (5 points)
Rappel : A(2 ; −1 ; 3), u(1 ; 2 ; −1)
1. Représentation paramétrique de (d) :
La droite (d) passant par A(2 ; −1 ; 3) et de vecteur directeur u(1 ; 2 ; −1) a pour représentation paramétrique :
x = 2 + t
y = −1 + 2t (t ∈ ℝ)
z = 3 − t
2. P(4 ; 3 ; 1) appartient-il à (d) ?
On cherche t tel que : 2 + t = 4, −1 + 2t = 3, 3 − t = 1
De la 1ère : t = 2
Vérifions : −1 + 2(2) = 3 ✓ et 3 − 2 = 1 ✓
Oui, P ∈ (d) pour t = 2.
3. Q(3 ; 2 ; 2) appartient-il à (d) ?
On cherche t tel que : 2 + t = 3, −1 + 2t = 2, 3 − t = 2
De la 1ère : t = 1
Vérifions : −1 + 2(1) = 1 ≠ 2. Contradiction !
Non, Q ∉ (d).
4. (d') passant par B(0 ; −5 ; 5), v(−2 ; −4 ; 2) :
Parallélisme : on vérifie si v = k·u
v(−2 ; −4 ; 2) = −2 × (1 ; 2 ; −1) = −2·u
Donc v = −2u, les vecteurs sont colinéaires : (d) et (d') sont parallèles.
Confondues ? On vérifie si B ∈ (d) :
2 + t = 0 ⟹ t = −2
−1 + 2(−2) = −5 ✓ et 3 − (−2) = 5 ✓
B ∈ (d), donc (d) et (d') sont confondues.
Exercice 3 — Équation cartésienne d'un plan (5 points)
1a) Vecteur normal à (P) : 2x − 3y + z − 5 = 0 :
Les coefficients de x, y, z donnent directement le vecteur normal :
n(2 ; −3 ; 1)
1b) R(1 ; −1 ; 0) ∈ (P) ?
2(1) − 3(−1) + 0 − 5 = 2 + 3 − 5 = 0 ✓
Oui, R ∈ (P).
1c) S(3 ; 1 ; 2) ∈ (P) ?
2(3) − 3(1) + 2 − 5 = 6 − 3 + 2 − 5 = 0 ✓
Oui, S ∈ (P).
2. Équation de (Q) passant par A(1 ; 0 ; −2), normal n(3 ; −1 ; 4) :
L'équation est de la forme : 3x − y + 4z + d = 0
A ∈ (Q) : 3(1) − 0 + 4(−2) + d = 0 ⟹ 3 − 8 + d = 0 ⟹ d = 5
3x − y + 4z + 5 = 0
3. Plan passant par A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 1 ; −1), C(0 ; 2 ; 1) :
AB = (2 ; 1 ; −3) et AC = (−1 ; 2 ; −1)
On cherche n(a ; b ; c) orthogonal à AB et AC :
n = AB ∧ AC (produit vectoriel)
a = 1×(−1) − (−3)×2 = −1 + 6 = 5
b = (−3)×(−1) − 2×(−1) = 3 + 2 = 5
c = 2×2 − 1×(−1) = 4 + 1 = 5
n(5 ; 5 ; 5), on simplifie : n(1 ; 1 ; 1)
Équation : x + y + z + d = 0
A ∈ plan : 1 + 0 + 2 + d = 0 ⟹ d = −3
x + y + z − 3 = 0
Vérification : B : 3 + 1 + (−1) − 3 = 0 ✓ ; C : 0 + 2 + 1 − 3 = 0 ✓
Exercice 4 — Positions relatives et intersections (5 points)
Rappel : (P) : 2x + y − z + 3 = 0 ; (d) : x = 1+t, y = −2+3t, z = 4−t
1. (d) non parallèle à (P) :
Vecteur directeur de (d) : u(1 ; 3 ; −1)
Vecteur normal de (P) : n(2 ; 1 ; −1)
(d) est parallèle à (P) ⟺ u·n = 0
u·n = 1×2 + 3×1 + (−1)×(−1) = 2 + 3 + 1 = 6 ≠ 0
La droite (d) n'est pas parallèle au plan (P).
2. Point d'intersection I :
On substitue la représentation paramétrique dans l'équation du plan :
2(1+t) + (−2+3t) − (4−t) + 3 = 0
2 + 2t − 2 + 3t − 4 + t + 3 = 0
6t − 1 = 0 ⟹ t = 1/6
x = 1 + 1/6 = 7/6 ; y = −2 + 3/6 = −3/2 ; z = 4 − 1/6 = 23/6
I(7/6 ; −3/2 ; 23/6)
3. Intersection des plans (P) et (P') :
(P) : 2x + y − z + 3 = 0 et (P') : x − y + 2z − 1 = 0
n(2 ; 1 ; −1) et n'(1 ; −1 ; 2). Comme n ≠ k·n', les plans sont sécants.
On résout le système :
2x + y − z = −3 (1)
x − y + 2z = 1 (2)
(1) + (2) : 3x + z = −2 ⟹ z = −2 − 3x
De (2) : y = x + 2z − 1 = x + 2(−2 − 3x) − 1 = x − 4 − 6x − 1 = −5x − 5
On pose x = t (paramètre) :
x = t
y = −5t − 5 (t ∈ ℝ)
z = −3t − 2
Vérification avec t = 0 : point (0 ; −5 ; −2).
(P) : 0 − 5 − (−2) + 3 = 0 ✓ ; (P') : 0 + 5 + 2(−2) − 1 = 0 ✓
Exercice 5 — Orthogonalité et distance dans l'espace (5 points)
Rappel : (P) : x + 2y − 2z + 6 = 0 ; A(1 ; −1 ; 3)
1. Droite (Δ) perpendiculaire à (P) passant par A :
Le vecteur normal n(1 ; 2 ; −2) est vecteur directeur de (Δ) :
x = 1 + t
y = −1 + 2t (t ∈ ℝ)
z = 3 − 2t
2. Projeté orthogonal H de A sur (P) :
H = (Δ) ∩ (P). On substitue dans l'équation de (P) :
(1+t) + 2(−1+2t) − 2(3−2t) + 6 = 0
1 + t − 2 + 4t − 6 + 4t + 6 = 0
9t − 1 = 0 ⟹ t = 1/9
x = 1 + 1/9 = 10/9 ; y = −1 + 2/9 = −7/9 ; z = 3 − 2/9 = 25/9
H(10/9 ; −7/9 ; 25/9)
3. Distance AH :
AH = (10/9 − 1 ; −7/9 + 1 ; 25/9 − 3) = (1/9 ; 2/9 ; −2/9)
d(A, P) = ‖AH‖ = √((1/9)² + (2/9)² + (−2/9)²) = √(1/81 + 4/81 + 4/81) = √(9/81) = 3/9 = 1/3
4. Vérification par la formule :
d(A, P) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)
= |1×1 + 2×(−1) + (−2)×3 + 6| / √(1² + 2² + (−2)²)
= |1 − 2 − 6 + 6| / √(1 + 4 + 4)
= |−1| / √9
= 1/3
On retrouve bien le même résultat. ✓
— Fin de la correction —
Les erreurs les plus fréquentes à éviter en géométrie dans l'espace
L'erreur la plus fréquente est l'oubli de la troisième coordonnée. En passant de la géométrie plane à l'espace, tous les calculs s'étendent à trois dimensions : vecteurs à trois composantes, norme avec trois termes sous la racine, produit scalaire avec trois produits. Un réflexe de calcul en 2D peut faire perdre des points.
Pour les représentations paramétriques, n'oubliez pas que le paramètre t doit donner des valeurs cohérentes pour les trois coordonnées simultanément. Vérifier l'appartenance d'un point à une droite nécessite de trouver une même valeur de t qui satisfait les trois équations — pas trois valeurs différentes.
Pour le produit vectoriel, la formule est souvent source d'erreurs de signe. Retenez la méthode du « sarrus simplifié » ou la règle mnémotechnique « ijkijk ». Une erreur sur le produit vectoriel fausse entièrement l'équation du plan.
- Produit scalaire : u·v = xx' + yy' + zz'
- Droite parallèle à plan ⟺ u·n = 0 (vecteur directeur · vecteur normal)
- Projeté orthogonal : intersection de la perpendiculaire et du plan
- Distance point-plan : d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)