Corrigés — Géométrie dans l'espace Terminale

Exercice 1 — Base ou pas base 8 points

Trois vecteurs de l'espace forment une base s'ils ne sont pas coplanaires — c'est-à-dire si leur déterminant n'est pas nul.

• « Coplanaires » et « base » sont exactement contraires : le même déterminant répond aux deux questions.
• Regarder avant de calculer fait souvent gagner le calcul entier.
• Une base de l'espace demande trois directions vraiment indépendantes.

Exercice 2 — Décomposer sur une base 6 points

On travaille dans la base (1 ; 0 ; 0), (1 ; 1 ; 0), (1 ; 1 ; 1).

• La troisième coordonnée donne c immédiatement : on remonte ensuite le système.
• La vérification consiste à recalculer la combinaison : elle doit redonner le vecteur de départ, coordonnée par coordonnée.

Exercice 3 — Une combinaison à représenter 6 points

Le programme demande de « représenter des combinaisons linéaires de vecteurs donnés ».

• Une combinaison linéaire se calcule coordonnée par coordonnée : il n'y a rien d'autre à savoir.
• Deux vecteurs n'engendrent qu'un PLAN : il faut un troisième vecteur, non coplanaire, pour atteindre tout l'espace.

Exercice 1 — Quatre positions, pas trois 8 points

Dans le plan, deux droites sont parallèles, confondues ou sécantes. Dans l'espace, un quatrième cas apparait.

• Deux droites non coplanaires n'ont aucun point commun, et pourtant elles ne sont pas parallèles.
• On regarde d'abord les directions : colinéaires ou non. C'est cette question qui coupe l'arbre en deux.
• Un déterminant nul répond à la question, sans avoir à chercher le point d'intersection.

Exercice 2 — Quatre affirmations 6 points

Une seule réponse est juste à chaque ligne.

• La première ligne est celle qui distingue l'espace du plan : ne pas être parallèles n'oblige plus à se couper.
• C'est aussi pourquoi le module refuse de construire un plan à partir de trois points alignés.

Exercice 3 — Quatre points d'un cube 6 points

Dans un repère où le cube ABCDEFGH a pour sommets A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0) et E(0 ; 0 ; 1), les autres sommets s'obtiennent par somme.

• Sur un cube, quatre points sont coplanaires dès qu'ils sont sur une même face — mais il y a d'autres plans que les faces.
• Un déterminant non nul dit à la fois « non coplanaires » et « ces trois vecteurs forment une base ».

Exercice 1 — La démonstration du programme 8 points

Le plan P passe par A(1 ; 2 ; −1) et admet (2 ; −1 ; 3) pour vecteur normal.

• C'est l'une des deux démonstrations que le programme nomme dans cette partie : elle peut être demandée telle quelle.
• Une équation de plan qui ne s'annulerait pas en A serait celle d'un autre plan.
• Il suffit de remplacer : si l'on ne trouve pas 0, le point n'y est pas.

Exercice 2 — Cinq copies à corriger 6 points

Trois de ces copies se trompent, pour trois raisons différentes.

• Les trois erreurs se lèvent en revenant à la définition : M est dans P si et seulement si vec(AM) · vec(n) = 0.
• Pour comparer deux représentations, on vérifie que les directions sont colinéaires ET qu'un point de l'une est sur l'autre.

Exercice 3 — Une droite, une équation 6 points

La droite d passe par A(1 ; −3 ; 4) et a pour vecteur directeur (2 ; 1 ; −1).

• Le point de paramètre 0 est toujours celui qu'on a choisi au départ : c'est une vérification gratuite.
• Un seul paramètre doit satisfaire les TROIS équations : c'est ce qui rend le test décisif.

Exercice 1 — Quatre produits scalaires 8 points

Relie chaque produit scalaire à sa valeur.

• Dans une base orthonormée, le produit scalaire est la somme des produits de coordonnées — rien de plus.
• On n'a pas besoin de connaitre l'angle : le signe du produit scalaire suffit à dire aigu, droit ou obtus.
• Garder la norme au CARRÉ tant qu'on peut évite d'introduire une racine, donc un arrondi.

Exercice 2 — Trois orthogonalités 6 points

Lis le document, puis réponds.

• Le vecteur normal résume à lui seul l'orthogonalité à toutes les directions du plan.
• C'est la même distinction que pour les positions relatives : dans l'espace, ne pas être parallèles n'oblige pas à se couper.

Exercice 3 — Un vecteur normal à construire 6 points

On cherche un vecteur normal au plan passant par A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0) et C(0 ; 0 ; 1).

• Un vecteur normal doit être orthogonal à DEUX directions non colinéaires du plan : une seule ne suffirait pas.
• Trois points non alignés déterminent un plan unique : c'est ce qui rend la construction possible.

Exercice 1 — Le tableau qui démontre 8 points

Le plan P a pour équation 2x − y + 3z + 3 = 0, et M a pour coordonnées (4 ; −2 ; 5). Son projeté orthogonal H a pour coordonnées (0 ; 0 ; −1).

• MH² ne change pas d'une ligne à l'autre : c'est HN² seul qui fait varier MN².
• Une égalité vérifiée sur quatre points n'est pas une démonstration : elle indique quoi démontrer.
• C'est la démonstration exigible du programme, et elle tient en trois lignes.

Exercice 2 — Les trois temps de la démonstration 6 points

Complète les trois branches de la carte.

• Une démonstration se retient par sa CHARPENTE, pas par ses phrases.
• C'est le seul endroit où l'hypothèse « N est dans le plan » sert — et elle y est indispensable.

Exercice 3 — Calculer la distance 6 points

On reprend le même plan et le même point M.

• Les deux voies doivent donner le même résultat : c'est la vérification la moins couteuse du chapitre.
• On n'écrit la racine qu'au dernier moment, et l'on en donne une valeur approchée si l'énoncé le demande.