Corrigés — Les vecteurs en 2de

Exercice 1 — Deux flèches, un seul vecteur 8 points

Le repère est orthonormé. Les quatre points sont placés, les deux flèches sont tracées.

• Les coordonnées de vec(AB) sont celles de B moins celles de A : l'ordre inverse donne le vecteur opposé.
• Deux vecteurs égaux n'ont ni la même origine ni la même extrémité : ils ont les mêmes coordonnées.
• Un vecteur n'est pas une flèche : c'est ce que toutes ces flèches ont en commun.

Exercice 2 — Quatre affirmations 6 points

Une seule réponse est juste à chaque ligne.

• La quatrième ligne est la relation que le programme met en évidence : vec(u) = x·vec(i) + y·vec(j).
• La norme seule perd le sens et la direction : trois renseignements ne se remplacent pas par un.

Exercice 3 — Construire un représentant 6 points

On donne E(2 ; −1) et vec(u) (−3 ; 4).

• Passer de l'origine à l'extrémité, c'est ajouter le vecteur ; l'ordre des questions n'y change rien.
• Repérer qui est l'origine et qui est l'extrémité AVANT de calculer évite l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Exercice 1 — La règle du parallélogramme 8 points

Les deux vecteurs sont tracés à partir du même point O.

• Une somme de vecteurs se calcule coordonnée par coordonnée : aucune construction n'est nécessaire pour obtenir le résultat.
• La construction et le calcul disent la même chose ; on se sert du calcul pour vérifier le dessin.
• Multiplier un vecteur par un réel multiplie ses DEUX coordonnées : c'est ce qui allonge la flèche sans la faire tourner.

Exercice 2 — Même sens, ou sens contraire 6 points

On donne vec(u) (2 ; −1). Les quatre vecteurs à ranger sont tous de la forme k·vec(u).

• On trouve k en divisant une coordonnée par la coordonnée correspondante — puis on VÉRIFIE sur l'autre.
• Le vecteur nul est le cas particulier qu'on écarte avant d'énoncer une règle sur la colinéarité.

Exercice 3 — Écrire un vecteur sur une base 6 points

On donne vec(u) (1 ; 1), vec(v) (1 ; −1) et vec(w) (4 ; 2).

• On résout un système de deux équations à deux inconnues : les coordonnées donnent une équation chacune.
• C'est le déterminant de la base qui garantit à la fois que la décomposition existe et qu'elle est unique.

Exercice 1 — Un triangle et ses longueurs 8 points

Le repère est orthonormé : la norme se calcule par √(x² + y²).

• La distance AB n'est rien d'autre que la norme de vec(AB) : une seule formule sert aux deux.
• On compare les CARRÉS des longueurs : c'est exact, alors qu'une racine arrondie ne prouverait rien.
• Le milieu se calcule par la demi-somme des coordonnées, jamais en visant le milieu du dessin.

Exercice 2 — Quatre normes à calculer 6 points

Complète les deux colonnes vides. Une norme n'est pas toujours un nombre entier.

• On calcule toujours x² + y² d'abord : la racine ne se prend qu'à la fin.
• Une valeur approchée ne sert qu'à se représenter la grandeur ; elle ne remplace pas la valeur exacte.

Exercice 3 — Le milieu, vu comme un vecteur 6 points

Le programme demande la caractérisation VECTORIELLE : I est le milieu de [AB] lorsque vec(AI) = vec(IB).

• La caractérisation vectorielle se vérifie sans jamais diviser : on compare deux vecteurs.
• Le milieu connu et une extrémité donnent l'autre : c'est le même calcul, résolu dans l'autre sens.

Exercice 1 — Le critère, appliqué 8 points

Le programme de seconde introduit le déterminant de deux vecteurs et en fait le critère de colinéarité.

• Un déterminant nul se vérifie en cherchant le coefficient : les deux caractérisations doivent s'accorder.
• Aucune valeur particulière n'est à retenir : seule la nullité compte.
• Un résultat qui change de signe selon l'ordre ne peut pas servir de longueur ; il sert de critère.

Exercice 2 — Cinq copies à corriger 6 points

Trois de ces copies se trompent, pour trois raisons différentes.

• Trois erreurs de nature différente : un calcul, une définition, un cas oublié.
• Une méthode fausse qui tombe juste une fois se trompera la fois suivante : c'est la méthode qu'on corrige, pas le résultat.

Exercice 3 — La démonstration attendue 6 points

Le programme demande de démontrer que les DEUX caractérisations de la colinéarité — nullité du déterminant, proportionnalité des coordonnées — disent la même chose, pour deux vecteurs non nuls.

• Ce sens-là est un calcul de trois lignes : il s'écrit en entier, sans exemple numérique.
• C'est parce que vec(u) n'est pas nul qu'on peut diviser : l'hypothèse sert exactement là.

Exercice 1 — Dérouler l'algorithme 8 points

Le programme cite cet algorithme parmi les exemples à mettre en œuvre en seconde.

• Un algorithme se déroule dans l'ordre : on note chaque étape, on n'anticipe pas la conclusion.
• Le même algorithme, sur d'autres entrées : c'est tout l'intérêt d'en écrire un.
• Un algorithme répond à la question qu'on lui a posée, et à aucune autre.

Exercice 2 — Deux droites, deux cas 6 points

La carte rappelle ce que la nullité du déterminant permet de conclure — et ce qu'elle ne permet pas.

• D'autres réponses conviennent : ce qui compte est que le vecteur directeur soit colinéaire, et que le second test départage les deux cas.
• Un vecteur n'a pas de position : deux droites parallèles ont exactement les mêmes vecteurs directeurs.

Exercice 3 — Compléter un parallélogramme 6 points

On donne A(−2 ; 1), B(3 ; 2) et C(1 ; −3).

• L'ordre des lettres impose l'égalité vectorielle : ABCD et ABDC ne donnent pas le même point.
• Deux caractérisations du parallélogramme, deux chemins : celui qui vérifie n'est pas celui qui a construit.