Correction - Évaluation Vecteurs Seconde Maths (PDF + Corrigé) - Coordonnées, norme, translation et colinéarité
Aperçu de la correction
Correction de l'évaluation sur les vecteurs — Seconde Mathématiques (PDF + Corrigé)
Voici la correction complète et détaillée de l'évaluation sur les vecteurs en classe de Seconde. Chaque exercice est corrigé étape par étape avec les formules utilisées et les justifications nécessaires. Prenez le temps de comparer vos réponses avec cette correction pour identifier vos erreurs et consolider votre compréhension.
CORRECTION — ÉVALUATION DE MATHÉMATIQUES
Les Vecteurs — Classe de Seconde (PDF + Corrigé)
Exercice 1 — QCM (4 points)
1. Un vecteur est défini par :
✅ Réponse b) et c) : Une direction, un sens et une norme
Un vecteur est caractérisé par trois éléments : sa direction (droite support), son sens (orientation sur cette droite) et sa norme (longueur). Les réponses b) et c) expriment cette même idée (c) car « direction » englobe implicitement le sens dans l'usage courant). La réponse b) est la plus précise.
2. Si A(2 ; 3) et B(5 ; 7), alors AB :
✅ Réponse b) : (3 ; 4)
AB = (xB − xA ; yB − yA) = (5 − 2 ; 7 − 3) = (3 ; 4)
3. La norme du vecteur →u(3 ; 4) :
✅ Réponse c) : 5
‖→u‖ = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
4. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si :
✅ Réponses b) et c) : det(→u, →v) = 0 et ils ont la même direction
La colinéarité signifie que les deux vecteurs ont la même direction (pas forcément le même sens). La condition analytique est que le déterminant est nul. Avoir la même norme (a) ou être opposés (d) ne sont pas des conditions suffisantes ni nécessaires.
Exercice 2 — Coordonnées et norme d'un vecteur (4 points)
Rappel : A(1 ; 3), B(4 ; −1), C(−2 ; 5)
1. Coordonnées de AB et AC :
AB = (xB − xA ; yB − yA) = (4 − 1 ; −1 − 3) = (3 ; −4)
AC = (xC − xA ; yC − yA) = (−2 − 1 ; 5 − 3) = (−3 ; 2)
2. Norme de AB :
‖AB‖ = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
3. Coordonnées de D tel que BD = AC :
AC = (−3 ; 2), donc BD = (−3 ; 2)
On a D(xD ; yD) avec :
xD − xB = −3 ⟹ xD = 4 + (−3) = 1
yD − yB = 2 ⟹ yD = −1 + 2 = 1
Donc D(1 ; 1)
4. Milieu M de [AB] :
M = ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2) = ((1 + 4)/2 ; (3 + (−1))/2) = (5/2 ; 1) soit (2,5 ; 1)
Exercice 3 — Opérations sur les vecteurs (4 points)
Rappel : →u(2 ; −3) et →v(−1 ; 5)
1. →u + →v :
→u + →v = (2 + (−1) ; −3 + 5) = (1 ; 2)
2. 3→u − 2→v :
3→u = (6 ; −9)
2→v = (−2 ; 10)
3→u − 2→v = (6 − (−2) ; −9 − 10) = (8 ; −19)
3. Valeur de k tel que →w = →u + k→v ait une ordonnée nulle :
→w = (2 + k×(−1) ; −3 + k×5) = (2 − k ; −3 + 5k)
On veut l'ordonnée nulle : −3 + 5k = 0
5k = 3
k = 3/5
Vérification : →w = (2 − 3/5 ; 0) = (7/5 ; 0) ✓
4. ‖→u + →v‖ :
→u + →v = (1 ; 2)
‖→u + →v‖ = √(1² + 2²) = √(1 + 4) = √5
Exercice 4 — Translation et vecteurs (4 points)
Rappel : E(0 ; 2), F(4 ; 0), G(3 ; 5)
1. Coordonnées de EF :
EF = (4 − 0 ; 0 − 2) = (4 ; −2)
2. Images par la translation de vecteur EF :
La translation de vecteur EF(4 ; −2) ajoute (4 ; −2) aux coordonnées de chaque point :
E'(0 + 4 ; 2 + (−2)) = E'(4 ; 0)
Remarque : E' = F (l'image de E par la translation de vecteur EF est F)
F'(4 + 4 ; 0 + (−2)) = F'(8 ; −2)
G'(3 + 4 ; 5 + (−2)) = G'(7 ; 3)
3. Montrer que EFE'G' n'est pas un parallélogramme :
Pour un parallélogramme ABCD, on doit avoir AB = DC.
Vérifions si EF = G'E' :
EF = (4 ; −2)
G'E' = (4 − 7 ; 0 − 3) = (−3 ; −3)
EF ≠ G'E', donc EFE'G' n'est pas un parallélogramme.
4. Coordonnées de H tel que EFHG soit un parallélogramme :
EFHG est un parallélogramme ⟺ EF = GH
EF = (4 ; −2)
GH = (xH − 3 ; yH − 5) = (4 ; −2)
xH = 3 + 4 = 7 et yH = 5 + (−2) = 3
Donc H(7 ; 3)
Exercice 5 — Colinéarité et alignement (4 points)
Rappel : P(1 ; 2), Q(4 ; 8), R(3 ; 6)
1. Coordonnées de PQ et PR :
PQ = (4 − 1 ; 8 − 2) = (3 ; 6)
PR = (3 − 1 ; 6 − 2) = (2 ; 4)
2. Déterminant et alignement :
det(PQ, PR) = xPQ × yPR − yPQ × xPR
det = 3 × 4 − 6 × 2 = 12 − 12 = 0
Le déterminant est nul, donc PQ et PR sont colinéaires.
Les points P, Q et R ayant un point commun (P), la colinéarité de PQ et PR entraîne que P, Q et R sont alignés.
3. Valeur de a pour l'alignement de P, Q et S(a ; 4) :
PQ = (3 ; 6) et PS = (a − 1 ; 4 − 2) = (a − 1 ; 2)
P, Q et S sont alignés ⟺ det(PQ, PS) = 0
det = 3 × 2 − 6 × (a − 1) = 0
6 − 6a + 6 = 0
12 − 6a = 0
6a = 12
a = 2
Vérification : S(2 ; 4), PS = (1 ; 2), det(PQ, PS) = 3×2 − 6×1 = 0 ✓
— Fin de la correction —
Les erreurs les plus fréquentes à éviter
L'erreur la plus courante concerne le sens de la soustraction pour calculer les coordonnées d'un vecteur. Pour AB, on calcule toujours B − A (point d'arrivée moins point de départ). Inverser l'ordre donne le vecteur opposé BA, ce qui entraîne un signe erroné sur toutes les coordonnées.
Autre piège fréquent : confondre norme et carré de la norme. La norme est ‖→u‖ = √(x² + y²), pas x² + y². Par exemple, pour →u(3 ; 4), la norme est 5, pas 25. N'oubliez pas la racine carrée ! De même, attention à ne pas confondre les coordonnées du milieu (moyenne des coordonnées) avec les coordonnées du vecteur (différence).
Pour la colinéarité, retenez que le déterminant nul est la condition nécessaire et suffisante. Ne confondez pas colinéarité et égalité : deux vecteurs colinéaires peuvent avoir des normes différentes et des sens opposés. Enfin, pour le parallélogramme, la condition AB = DC impose l'ordre des lettres : attention à ne pas écrire AB = CD.
- Faites systématiquement un schéma pour visualiser les points et les vecteurs
- Vérifiez vos calculs en remplaçant les valeurs trouvées dans les conditions initiales
- Révisez les formules de base jusqu'à les connaître par cœur
- Entraînez-vous sur des exercices avec des coordonnées négatives pour éviter les erreurs de signe