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Cours — Le tableau de Pythagore

Les mêmes fiches, avec les encadrés de méthode mis en avant.

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Durée 15 min par fiche
Notation Sans note
Format PDF A4
Accès Gratuit
La question « pourquoi une moitié du tableau suffit-elle ? ». Le tableau de Pythagore de 1 à 10 est dessiné, ses cases colorées selon trois rôles : au-dessus de la diagonale, en vert, les 45 produits à connaitre ; sur la diagonale, en orange, les 10 carrés, seuls résultats qui n'apparaissent qu'une fois ; en dessous, en gris pâle, les mêmes produits répétés. La légende indique 100 cases pour 55 produits distincts, et la phrase du bas : le tableau se plie le long de sa diagonale, et les deux moitiés se superposent.

Ce que contiennent ces fiches

Comment lire un produit dans un tableau à double entrée, et ce qu'un tableau montre qu'une liste cache.

La symétrie, ce qui la produit, et ce qu'elle fait gagner.

La diagonale des carrés, et la règle qui mène d'un carré au suivant.

Comment s'en servir pour diviser, et dans quel ordre le remplir soi-même.

1 sur 5

Lire un tableau de Pythagore

Croiser une ligne et une colonne, et rien de plus.

Le tableau complet, et comment le lire.

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Ce qu'un tableau montre qu'une liste cache.

La ligne du 5 alterne les zéros et les cinq : une régularité qui saute aux yeux dans un tableau, beaucoup moins dans une liste.

  • Double entrée
  • La case
  • L'étiquette
  • Une carte

Ce que chaque partie contient

1. Croiser une ligne et une colonne

Le tableau entier, de 1 à 10.

2. Ce qu'un tableau montre qu'une liste cache

Lis le document, puis regarde à nouveau le tableau.

2 sur 5

La symétrie : une moitié suffit

La commutativité, rendue visible.

La symétrie constatée case par case.

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Ce qu'elle fait gagner, et ce qu'elle ne dispense pas de savoir.

Le montrer sur le tableau, doigt sur les deux cases, vaut mieux que de le dire.

  • Symétrique
  • Commutativité
  • 100 → 55
  • Deux sens

Ce que chaque partie contient

1. Le tableau se plie en deux

Repère la diagonale qui part du coin en haut à gauche, et compare ce qu'il y a de part et d'autre.

2. Ce que la symétrie fait gagner

La carte résume ce que l'observation précédente permet d'économiser.

3 sur 5

La diagonale : les carrés

Les seuls résultats qui n'apparaissent qu'une fois.

Les dix carrés, et ce qui les distingue.

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La règle qui mène d'un carré au suivant.

Construire d'abord, mémoriser ensuite : c'est l'ordre que le programme décrit lui-même.

  • Les carrés
  • Une seule fois
  • La pliure
  • Les impairs

Ce que chaque partie contient

1. Dix nombres particuliers

La diagonale du tableau porte les produits d'un nombre par lui-même.

2. Passer d'un carré au suivant

Les carrés se suivent selon une règle simple, que le tableau laisse voir.

4 sur 5

S'en servir pour diviser

Diviser, c'est chercher le facteur qui manque.

Pourquoi diviser revient à chercher un facteur.

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Le geste, déroulé maillon par maillon.

Le tableau couvre les divisions exactes jusqu'à 100 ; au-delà, il faut d'autres outils.

  • Le facteur manquant
  • Descendre la colonne
  • Lire la ligne
  • Ne tombe pas juste

Ce que chaque partie contient

1. Diviser, c'est chercher un facteur

La division se lit dans le même tableau que la multiplication.

2. Le geste, étape par étape

La même recherche, déroulée maillon par maillon.

5 sur 5

Le remplir soi-même, dans le bon ordre

Trois vagues, et il ne reste presque rien.

Les trois vagues de remplissage.

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Les 36 égalités qui restent vraiment.

La liste dit ce qui reste, pas dans quel ordre l'apprendre — et l'ordre compte.

  • Les faciles
  • La diagonale
  • La symétrie
  • 36 restants

Ce que chaque partie contient

1. Trois vagues, pas une

Remplir un tableau vide case par case est long et décourageant. Dans le bon ordre, c'est rapide.

2. Ce qui reste vraiment

Une fois les tables faciles écrites et la symétrie employée, voici tout ce qu'il reste.

Ce que le générateur refuse sur ces fiches

Des points, une note, une ligne à remplir, un format d'exercice : c'est un cours, et le contrôle interroge le registre des schémas pour vérifier qu'aucun ne cache son contenu.

Une case fausse. Le tableau imprimé est relu case par case avant publication, et le moteur vérifie séparément qu'il est bien symétrique et que sa diagonale porte les carrés.

Une régularité affirmée sans preuve. Les écarts entre carrés successifs sont comparés à la suite des nombres impairs, et le contrôle refuse s'ils divergent.

Une liste de restants qui ne correspondrait pas au dénombrement du moteur : les 36 égalités affichées sont exactement celles qu'il compte.

Et toute affirmation chiffrée non sourcée, comme celle qui ouvrait la page de l'article de référence.

Un moteur partagé, et six rôles distincts

Le moteur `tables_multiplication` est partagé par les six articles de la grappe : produits, dénombrement, formes d'égalité à trou et indicateurs du programme y sont écrits une seule fois, et les six articles ne peuvent donc pas se contredire.

Chacun a son rôle. Celui-ci traite le tableau ; l'article de référence porte les douze tables à imprimer et le compte de ce qu'il reste à apprendre ; un autre la méthode ; et trois autres les tables de 7, 8 et 9.

Méthode et vérification

Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 2 : arrêté du 22 octobre 2024, BO n° 41 du 31 octobre 2024, annexe 4, rubrique « Calcul mental ». Le moteur `tables_multiplication` calcule chaque case du tableau, vérifie sa symétrie et sa diagonale, compare les écarts entre carrés à la suite des impairs, et dénombre en énumérant ce qui reste à mémoriser.

Rédaction : Fiches Scolaires Mise à jour :
  • Programme de mathématiques du cycle 2, arrêté du 22 octobre 2024 — BO n° 41 du 31 octobre 2024, annexe 4, rubrique « Calcul mental » : « Connaitre dans les deux sens les tables de multiplication. […] L'élève peut ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 4 × … = 12 ; 5 × 3 = … ; 10 = 2 × … »
  • Même rubrique, indicateurs : « À la fin du CE1, l'élève peut compléter huit égalités de ce type en une minute. » ; « À la fin du CE2, l'élève peut compléter douze égalités de ce type en une minute. »
  • Même programme : « L'apprentissage des tables de multiplication s'étale sur l'année scolaire tout entière, de manière progressive. »

Questions fréquentes

Pourquoi le tableau de Pythagore est-il symétrique ?
Parce que la multiplication est commutative : a × b donne toujours le même résultat que b × a. La case qui croise la ligne 7 et la colonne 6 porte donc le même nombre que celle qui croise la ligne 6 et la colonne 7, et cela vaut pour toutes les cases. On peut le vérifier concrètement en disposant des objets en rectangle : trois rangées de huit et huit rangées de trois, c'est le même rectangle regardé d'un quart de tour. Pliez le tableau le long de sa diagonale, les deux moitiés se superposent exactement.
Qu'y a-t-il sur la diagonale du tableau ?
Les carrés : les produits d'un nombre par lui-même — 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. On les appelle ainsi parce qu'on peut disposer autant d'objets en un carré parfait : neuf jetons se rangent en trois rangées de trois. Ce sont les seuls résultats du tableau qui n'apparaissent qu'une fois, tous les autres y figurant deux fois de part et d'autre de la diagonale. Et les écarts entre carrés successifs sont tous les nombres impairs, dans l'ordre : 3, 5, 7, 9, 11…
Comment utiliser le tableau pour diviser ?
En cherchant le facteur qui manque. Pour 56 ÷ 7, on descend la colonne du 7 jusqu'à rencontrer 56, puis on lit le nombre inscrit en tête de ligne : c'est 8. Autrement dit, on répond à la question « 7 × … = 56 », qui est exactement l'une des trois formes d'égalité à trou que le programme demande de maitriser. Si le nombre cherché ne figure pas dans la colonne — 50 dans celle du 7, par exemple —, c'est que la division ne tombe pas juste et qu'elle laissera un reste.
Dans quel ordre remplir un tableau vide ?
En trois vagues, jamais case par case. D'abord les tables qui se comprennent : celle de 1, qui recopie les nombres du haut ; celle de 10, qui leur ajoute un zéro ; puis celles de 2 et de 5. Une bonne moitié du tableau est alors remplie sans qu'aucun résultat ait été mémorisé. Ensuite la diagonale des carrés, en ajoutant chaque fois deux nombres qui se suivent. Enfin la symétrie : on remplit une moitié, on recopie de l'autre côté. Il ne reste que 36 égalités, et ce sont elles qu'il faut apprendre.

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