L'étape intermédiaire fait partie de la réponse
En calcul littéral, écrire seulement le résultat ne prouve rien. Un élève qui donne 4x + 8 sans avoir montré 4 × x + 4 × 2 peut l'avoir retenu par cœur. Les corrigés écrivent donc la transformation, parce que c'est elle que le chapitre enseigne.
Deux erreurs reviennent dans toutes les classes, et les corrigés les nomment là où elles se produisent. La première consiste à additionner des termes de natures différentes : écrire 3x + 4 = 7x, alors que ces deux termes ne se regroupent pas. La seconde est d'oublier le 1 en factorisant : 7x + 7 devient 7(x + 1), et non 7(x).
Chaque évaluation est notée sur 20, à raison de quatre points par exercice. Les points perdus désignent l'étape à reprendre : reconnaître la forme, substituer, réduire, transformer, ou modéliser.
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Évaluation 1 — le programme de calcul
Un tri sommes / produits, un programme de calcul à suivre, un contre-exemple à trouver et deux équations à résoudre par l'opération inverse.
Sur la substitution, le corrigé écrit les deux temps : 3 × 4 + 5 = 12 + 5 = 17. Le point de méthode rappelle la priorité de la multiplication sur l'addition, parce que c'est là que se perdent les points quand l'élève calcule 3 × 9.
Le contre-exemple est corrigé avec son argument complet : x = 1 donne 8, qui est pair, donc l'affirmation est fausse. Le point de méthode précise qu'un seul cas suffit — beaucoup d'élèves croient devoir en produire plusieurs.
Sur la factorisation de 7x + 7, le corrigé signale l'erreur attendue : écrire 7(x) et oublier le 1. Il ajoute le remède, qui tient en dix secondes — redévelopper pour vérifier.
Les équations sont corrigées en nommant l'opération inverse employée : pour 5x = 40, l'inverse de « multiplier par 5 » est « diviser par 5 ». C'est la formulation que le programme attend à ce niveau.
Si le contre-exemple pose problème, faire tester le programme sur cinq nombres au hasard avant de chercher : l'élève trouve alors seul.
- Tri sommes / produits
- Programme de calcul en trois étapes
- Trouver un contre-exemple
- Résoudre par l'opération inverse
2 sur 5
Évaluation 2 — le terrain de sport
Deux écritures du périmètre, un tableau de valeurs à compléter, trois copies à corriger et deux terrains cotés dont une dimension est inconnue.
Sur la question des deux écritures, le corrigé formule la propriété générale : développer ne change pas la valeur d'une expression, seulement sa forme. C'est ce qui justifie tout le chapitre, et le point de méthode le signale comme tel.
Le contre-exemple du doublement est corrigé avec les deux périmètres calculés — 74 m puis 124 m — et l'explication de l'écart : la largeur, elle, n'a pas doublé. C'est le raisonnement de l'élève qui est mis en défaut, pas seulement son résultat.
Sur l'erreur 3x + 4 = 7x, le corrigé nomme la règle enfreinte : on ne regroupe que des termes de même nature. Il conclut que 3x + 4 ne peut pas être réduit, ce qui déroute les élèves habitués à ce qu'un exercice ait toujours une réponse plus courte.
Les deux équations de l'exercice 5 sont issues de la géométrie : le périmètre d'un carré, puis le demi-périmètre d'un rectangle. Le corrigé écrit la formule avant l'équation, parce que c'est la modélisation qui est évaluée autant que la résolution.
Faire écrire au tableau les deux formes du périmètre côte à côte, puis les tester sur trois rectangles, règle la question de leur équivalence.
- Deux écritures d'une même quantité
- Tableau de valeurs à compléter
- Trois copies à corriger
- Deux terrains cotés
3 sur 5
Évaluation 3 — le club de musique
QCM sur la traduction d'un tarif, produits à relier à leur somme développée, et un tableau d'équations à résoudre puis à raconter.
Le corrigé du premier exercice explicite la correspondance entre la situation et la forme : sans adhésion, un produit ; avec adhésion, une somme. Le point de méthode en fait une règle réutilisable plutôt qu'une observation isolée.
La vérification des 100 € est corrigée en deux temps : le calcul, puis la conclusion pratique. Un élève qui écrit seulement « 104 € » n'a pas répondu à la question posée, qui portait sur la faisabilité.
Sur 12x + 18, le corrigé indique que le facteur commun est le plus grand diviseur commun aux deux termes. Factoriser par 2 donne 2(6x + 9), qui reste factorisable : la réponse est incomplète, et le barème le reflète.
Les deux équations de l'exercice 5 sont formulées avant d'être résolues. Le corrigé écrit systématiquement l'équation en toutes lettres, parce que la mise en équation est une capacité distincte de la résolution.
Faire écrire aux élèves trois tarifs de leur invention, puis les traduire en expressions, prolonge utilement l'exercice 1.
- QCM sur la traduction du tarif
- Produits à relier à leur somme
- Vérifier une affirmation
- Tableau d'équations à raconter
4 sur 5
Évaluation 4 — le motif de carrelage
Des expressions à relier à leur description, un tableau de réductions, et le carnet du carreleur dont deux équations sur trois sont mal résolues.
Le corrigé du premier exercice montre les deux écritures côte à côte et nomme leur nature : 3n + 2n est une somme, 5n un produit. Le point de méthode signale que réduire fait passer de l'une à l'autre — c'est la définition opératoire du mot.
Le contre-exemple des 48 carreaux est corrigé en insistant sur la contrainte d'entier. Le point de méthode le formule : il ne suffit pas d'avoir assez de carreaux, encore faut-il qu'ils fassent un nombre entier de motifs.
Sur l'expression avec bordure, le corrigé sépare les deux temps : écrire 3n + 2n + 6, puis réduire en 5n + 6. Le 6 ne se regroupe avec rien, ce qui reprend au passage l'erreur du chapitre.
L'exercice 5 propose une équation sur les carreaux bleus seuls — 3n = 96 — plutôt que sur le total. Le corrigé le signale : il faut choisir la bonne expression avant de résoudre.
Dessiner le motif au tableau et le répéter trois fois avant de compter rend l'écriture 3n + 2n évidente, y compris pour les élèves les plus en difficulté.
- Expressions à relier à leur description
- Tableau de réductions
- Contre-exemple avec contrainte d'entier
- Carnet du carreleur à corriger
5 sur 5
Évaluation 5 — les nombres pairs et impairs
Écrire 2n et 2n + 1, un QCM sur les valeurs, trois démonstrations à corriger, et un programme à remonter.
Le corrigé de la question sur le nombre pair suivant écrit la règle explicitement : le suivant d'un nombre pair est deux unités plus loin, pas une seule. C'est l'erreur attendue, et elle vient de la lecture de « suivant » plutôt que du raisonnement.
Le contre-exemple sur les nombres premiers est corrigé avec sa justification complète : 9 = 3 × 3, donc 9 n'est pas premier. Le point de méthode signale qu'il n'y a pas de « bon » contre-exemple à trouver, seulement un qui fonctionne.
La démonstration est corrigée pas à pas, et la dernière réponse explicite ce que l'écriture 2(n + m) prouve : le résultat s'écrit 2 multiplié par un entier, ce qui est la définition d'un nombre pair. Le point de méthode conclut sur l'essentiel — le calcul littéral démontre pour tous les nombres à la fois, là où des exemples ne prouveraient rien.
La dernière question de l'évaluation combine résolution et interprétation : après avoir trouvé 25, il faut dire si ce nombre est pair ou impair, et le justifier par son écriture 2 × 12 + 1.
Faire refaire la même démonstration pour la somme de deux nombres impairs — (2n + 1) + (2m + 1) = 2(n + m + 1) — consolide le procédé sans rien ajouter au programme.
- Écrire 2n et 2n + 1
- Le nombre pair suivant est 2n + 2
- QCM aux propositions choisies
- Programme à remonter
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 fixé par l'arrêté du 18 février 2026, en vigueur en cinquième depuis la rentrée 2026-2027, section « Calcul littéral et algébrique — Cinquième ». Vérification faite sur le texte officiel avant rédaction. Les cinq exercices de chaque évaluation reprennent les capacités attendues à ce niveau : déterminer si une expression est une somme ou un produit, calculer sa valeur par substitution, réduire une expression de la forme ax + b, exploiter les relations k(a + b) = ka + kb ou k(a − b) = ka − kb pour développer ou factoriser, utiliser un contre-exemple, démontrer une propriété générale, et résoudre des équations du type ax = c ou x + b = c par des méthodes arithmétiques s'appuyant sur les opérations inverses. Ce qui relève des niveaux suivants en est exclu : les équations du type ax + b = c appartiennent à la 4ème ; la double distributivité, les identités remarquables, l'équation produit nul et les inéquations appartiennent à la 3ème. Cette exclusion est contrôlée automatiquement par script sur l'ensemble des consignes, questions, réponses et méthodes. Chaque chaîne de calcul des corrigés est recalculée — soixante-six pour cet article — et le total de chaque évaluation vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026) — classe de cinquième, « Calcul littéral et algébrique ». Son article 3 applique ce programme à la cinquième dès la rentrée 2026-2027, à la quatrième en 2027-2028 et à la troisième en 2028-2029.