Corrigés — Calcul littéral 3ème

Exercice 1 — Quatre expressions à développer 8 points

Complète la colonne de droite. Chaque réponse doit être réduite : les termes semblables regroupés, et rangés du degré le plus haut au plus bas.

• Deux d'entre elles n'emploient que la distributivité simple, deux la double.
• Le degré du résultat se lit avant de calculer : un produit de deux parenthèses du premier degré donne le second degré.

Exercice 2 — Deux façons de factoriser 6 points

Range ces six expressions selon la méthode qui les factorise.

• Une différence de deux carrés se reconnait à sa forme : deux termes, un signe moins, et deux carrés.
• On vérifie toujours en redéveloppant : c'est le seul contrôle qui ne coute rien.

Exercice 3 — La valeur numérique 6 points

On considère l'expression 2x² − 3x + 5.

• Pour x = 0, tous les termes contenant x disparaissent : il ne reste que le terme constant.
• C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et elle vient des parenthèses oubliées.

Exercice 1 — Un programme de calcul 8 points

Applique ce programme, devine ce qu'il fait, puis prouve-le.

• Deux essais donnent une idée ; ils ne prouvent rien.
• On traduit chaque étape dans l'ordre, en gardant les parenthèses : ce sont elles qui disent quand la multiplication porte sur toute la somme.
• La lettre a servi à parler de TOUS les nombres à la fois — c'est exactement ce qu'un essai ne peut pas faire.

Exercice 2 — Les quatre temps 6 points

Ce qu'une démonstration algébrique doit contenir, dans l'ordre.

• Un calcul répond pour une valeur ; une démonstration répond pour toutes.
• L'expression de départ est la partie qu'un correcteur relit pour vérifier qu'on a compris l'énoncé.

Exercice 3 — Trois entiers qui se suivent 6 points

Un résultat que le programme de mathématiques cite lui-même en exemple.

• Les trois entiers s'écrivent à partir du même n : c'est ce qui permet de les additionner.
• La factorisation n'est pas ici un exercice de calcul : c'est elle qui rend le résultat lisible.

Exercice 1 — Toujours, parfois, jamais 8 points

Une seule réponse est juste à chaque ligne.

• Les deux premières lignes portent le même signe égal, et n'ont pas du tout le même sens.
• Résoudre et démontrer sont deux gestes différents : confondre les deux fait chercher une solution là où il n'y a rien à chercher.

Exercice 2 — Cinq copies à juger 6 points

Trois de ces copies ne démontrent rien, pour trois raisons différentes.

• Une copie peut donner le bon résultat sans rien démontrer : c'est le cas de la dernière.
• L'asymétrie est totale, et c'est ce qui rend la démonstration nécessaire.

Exercice 3 — Chercher le contre-exemple 6 points

Une conjecture qui tient longtemps avant de tomber.

• Elle a résisté à 40 valeurs avant de céder : c'est précisément pour cela qu'on n'accorde rien aux exemples.
• n² + n + 41 s'écrit aussi n(n + 1) + 41. Pour n = 40, cela donne 40 × 41 + 41, où 41 se met en facteur commun.

Exercice 1 — Le nombre de Léa 8 points

Léa pense à un nombre. Elle le multiplie par 4, puis retire 7. Elle obtient le triple de son nombre de départ, augmenté de 2.

• La première ligne n'est pas une formalité : sans elle, l'équation ne dit pas de quoi elle parle.
• Chaque étape fait la même opération des deux côtés : c'est ce qui garde l'égalité vraie.
• Vérifier avec l'équation ne contrôle que le calcul ; vérifier avec l'énoncé contrôle aussi la traduction.

Exercice 2 — Quatre énoncés, quatre équations 6 points

Relie chaque énoncé à l'équation qui le traduit.

• Deux énoncés se ressemblent beaucoup : c'est la place du mot « son double » qui les sépare.
• On rassemble les x d'un côté et les nombres de l'autre : c'est toujours le même mouvement.

Exercice 3 — Deux équations d'un autre genre 6 points

Le programme demande aussi celles-ci.

• Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente sur ce type d'équation.
• C'est la propriété d'annulation d'un produit : elle transforme une équation du second degré en deux équations du premier.

Exercice 1 — Inconnue, variable, indéterminée 8 points

Lis la note, puis réponds.

• Chercher une valeur dans une identité est une erreur de lecture, pas de calcul.
• La distinction est fine, et c'est elle qui sépare une formule d'une identité.
• La même écriture peut donc désigner deux choses : seul le contexte tranche.

Exercice 2 — Quatre sens pour un signe 6 points

Le signe égal ne dit pas toujours la même chose.

• Dans les trois autres sens, l'égalité est toujours vraie.
• Cette faute vient de la calculatrice, où le signe égal déclenche un calcul au lieu d'affirmer une égalité.

Exercice 3 — Trois écritures à qualifier 6 points

Équation, identité, ou formule ?

• Les trois emploient le même signe et n'ont pas le même statut.
• C'est la seule identité que le programme du cycle 4 demande de connaitre par cœur.