Ce que contiennent les corrigés
Le choix de la ligne, justifié à chaque fois par les deux rôles en jeu — jamais par la position des côtés sur le dessin. C'est l'étape que les copies sautent, et c'est celle qui décide de tout ce qui suit.
Le calcul entier, avec la valeur employée pour la ligne trigonométrique et le résultat arrondi comme l'énoncé le demande. Les valeurs imprimées sont calculées, non recopiées d'une table.
Des contrôles qui ne coutent rien : un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse ; les deux angles aigus ont pour somme 90° ; un ordre de grandeur se vérifie en une seconde. Chacun repère une erreur sans refaire le calcul.
Et, pour la copie qui cherche un angle, ce que fait vraiment la touche marquée d'un petit moins un : une fonction réciproque, et non l'inverse d'un nombre.
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Nommer les côtés
Le même triangle, vu de ses deux angles aigus : deux réponses sur trois changent.
Les trois rôles nommés depuis chacun des deux angles, et ce qui les sépare.
Pourquoi l'hypoténuse est toujours le plus grand côté.
Ce fait a une conséquence directe : un sinus et un cosinus sont toujours plus petits que 1.
- Hypoténuse
- Adjacent
- Opposé
- Changer d'angle
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Calculer une longueur
L'inconnue en haut, on multiplie ; en bas, on divise.
Le calcul complet, avec le contrôle de vraisemblance qui l'accompagne.
Les six égalités rangées, et la résolution de celle dont l'inconnue est au dénominateur.
Multiplier au lieu de diviser donne ici un résultat plus petit que la donnée, alors qu'on cherchait l'hypoténuse.
- Nommer les rôles
- Choisir la ligne
- Isoler
- Vérifier
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Calculer un angle
Deux longueurs donnent un rapport, et le rapport donne l'angle.
Le rapport, la fonction réciproque, et l'angle au dixième de degré.
Le second angle obtenu par complémentarité, sans calculatrice.
Le sinus de l'un des deux angles aigus est le cosinus de l'autre : l'adjacent de l'un est l'opposé de l'autre.
- Deux longueurs
- Un rapport
- La réciproque
- La somme à 90°
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Un problème complet
Du schéma à la phrase de conclusion, sans sauter l'étape qu'on saute toujours.
Le calcul de la hauteur, et l'ordre de grandeur qui la rend plausible.
Le rôle de chacun des cinq maillons, et ce que coute d'en sauter un.
Dès que la longueur connue est celle de la ligne de visée, c'est une hypoténuse.
- Le schéma
- Les rôles
- La ligne
- La conclusion
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Trigonométrie et Pythagore
Trois outils, trois emplois — et un problème qui en demande deux.
Les deux outils enchainés sur le même triangle, et le troisième angle obtenu sans calcul.
Le verdict sur les deux affirmations, avec ce qui les rend fausses.
La première chose à établir devant un problème reste la présence de l'angle droit.
- Pythagore
- Une ligne
- Une réciproque
- Le chemin court
Ce que le générateur refuse sur ces évaluations
Une valeur imprimée qui ne serait pas celle du moteur : chaque nombre à trois ou quatre décimales est relu dans le texte des cinq fiches et comparé à ce que le calcul rend.
Un chiffre dont l'arrondi ne serait pas garanti. Le moteur calcule en Decimal à quarante chiffres ; si une valeur tombe trop près d'une limite d'arrondi pour que la précision tranche, il refuse d'écrire plutôt que de choisir.
Une figure qui ferait chercher une longueur sans marquer d'un point d'interrogation celle qu'elle tait.
Une figure qui afficherait une mesure d'angle alors que l'exercice fait chercher cet angle.
Une figure portant un nombre alors que l'exercice ne fait rien calculer — c'est le cas de la première évaluation, qui fait nommer les côtés : un chiffre y serait un leurre.
Une cote qui ne correspondrait pas au tracé : chaque longueur écrite est re-mesurée sur les points de la figure.
Deux angles arrondis dont la somme ne ferait pas 90°, là où deux fiches affirment la complémentarité sans la recalculer devant le lecteur.
Un barème qui ne serait pas 8 + 6 + 6, une réponse vide, une réponse de plus de 220 caractères sur moins de trois lignes.
Un caractère absent de la police d'impression. Ce contrôle a servi : la notation « cos » avec un petit moins un en exposant employait un signe que la police ne porte pas, et ReportLab en aurait tracé un autre sans le dire. Les fiches écrivent donc arccos, arcsin et arctan, et le document explique la touche.
Un mot qui appartient à l'article 160 — semblable, similitude, valeur exacte, ou une valeur exacte en radical. Les deux articles de la grappe traitent le même chapitre et ne doivent pas se recouvrir.
La calculatrice remplacée par un calcul dont l'erreur est bornée
Une fiche qui imprime « sin(35°) est environ 0,574 » engage sa parole sur ce 4 final. Le moteur `trigonometrie_3eme` ne le recopie d'aucune table : il calcule π par la formule de Machin, puis le sinus et le cosinus par leurs séries, en Decimal à quarante chiffres.
L'arrondi est ensuite prouvé. Arrondir, c'est décider de quel côté d'une demie tombe la valeur mise à l'échelle ; quand elle en est trop proche pour que la précision tranche, le moteur lève une erreur au lieu d'imprimer un chiffre dont il ne répond pas.
Un angle cherché à partir d'un rapport est obtenu par dichotomie, et l'encadrement final est vérifié : la valeur du bas est bien sous le rapport, celle du haut au-dessus. Un rapport impossible — un sinus de 1,4 — est refusé, et non ramené silencieusement à 90°.
L'ensemble se contrôle par des identités plutôt que par des décimales recopiées, qu'il faudrait bien croire sur parole : la somme des carrés du sinus et du cosinus vaut 1 à tous les angles testés, la tangente de 45° vaut 1, et l'aller-retour par la fonction réciproque retrouve l'angle de départ. Les valeurs exactes des angles remarquables, calculées par une voie entièrement séparée — des radicaux rationnels —, doivent enfin coïncider avec les valeurs des séries : deux chemins indépendants qui s'accordent valident les deux.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème D « Espace et géométrie ». L'arrêté du 18 février 2026 refond ce programme, mais son article 3 en échelonne l'entrée en vigueur et la troisième n'est concernée qu'à la rentrée 2028-2029. Le moteur `trigonometrie_3eme` calcule π par la formule de Machin, les lignes trigonométriques par leurs séries en arithmétique décimale à quarante chiffres, et les angles cherchés par dichotomie avec encadrement vérifié ; chaque arrondi imprimé est prouvé, et le moteur refuse d'écrire un chiffre qu'il ne peut pas garantir. Les figures sont re-mesurées sur leurs points et comparées aux cotes annoncées.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème D « Espace et géométrie », connaissances : « Lignes trigonométriques dans le triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente. »
- Même programme, compétences associées : « Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriques. » Et, sur les automatismes attendus en fin de cycle : « les élèves doivent avoir mémorisé des images mentales (configurations de Pythagore et de Thalès, lignes trigonométriques dans un triangle rectangle) ».
- Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4, article 3 : entrée en vigueur échelonnée — cinquième à la rentrée 2026, quatrième à la rentrée 2027, troisième à la rentrée 2028.