Correction - Évaluation Mathématiques 3ème : Trigonométrie (PDF & Corrigé)
Aperçu de la correction
Ce corrigé complet de l'évaluation de mathématiques de 3ème sur la trigonométrie détaille chaque étape de résolution avec la rigueur attendue dans une copie de brevet. En suivant ces corrections, vous apprendrez à rédiger des solutions claires et méthodiques qui vous garantiront le maximum de points.
Méthode de rédaction en trigonométrie
La rédaction est un élément essentiel de la notation en mathématiques au collège, et particulièrement en vue du brevet. Voici le modèle de rédaction attendu pour tout exercice de trigonométrie. Étape 1 : identifiez et nommez le triangle rectangle et l'angle droit (par exemple, « dans le triangle ABC rectangle en B »). Étape 2 : identifiez les côtés par rapport à l'angle étudié (« le côté BC est opposé à l'angle A, le côté AB est adjacent à l'angle A, AC est l'hypoténuse »). Étape 3 : écrivez le rapport trigonométrique choisi sous forme littérale (« dans le triangle ABC rectangle en B, on a : sin(A) = BC / AC »). Étape 4 : remplacez par les valeurs numériques connues. Étape 5 : isolez l'inconnue et calculez. Étape 6 : donnez le résultat arrondi comme demandé et rédigez une phrase de conclusion. Cette structure en six étapes doit devenir un automatisme.
Correction des exercices de calcul de longueurs
Prenons un exercice type : dans le triangle MNP rectangle en N, l'angle M mesure 42° et MN = 8 cm. Calculer NP au dixième de centimètre. Analysons : par rapport à l'angle M, MN est le côté adjacent (il forme l'angle M avec l'hypoténuse) et NP est le côté opposé (il est en face de l'angle M). Le rapport qui relie le côté opposé et le côté adjacent est la tangente. On écrit : dans le triangle MNP rectangle en N, tan(M) = NP / MN. Donc tan(42°) = NP / 8. On isole NP : NP = 8 × tan(42°). Avec la calculatrice : tan(42°) est environ 0,9004. Donc NP est environ 8 × 0,9004 = 7,2 cm. Conclusion : NP mesure environ 7,2 cm. Si l'exercice demandait aussi de calculer MP (l'hypoténuse), on utiliserait le cosinus : cos(42°) = MN / MP, donc MP = MN / cos(42°) = 8 / cos(42°) = 8 / 0,7431 = environ 10,8 cm.
Correction des exercices de calcul d'angles
Exercice type : dans le triangle RST rectangle en S, RS = 5 cm et RT = 9 cm. Calculer l'angle R au degré près. Analysons la situation : par rapport à l'angle R, RS est le côté adjacent et ST est le côté opposé. RT est l'hypoténuse. On connaît le côté adjacent (RS = 5 cm) et l'hypoténuse (RT = 9 cm), donc on utilise le cosinus. On écrit : dans le triangle RST rectangle en S, cos(R) = RS / RT. Donc cos(R) = 5 / 9, soit cos(R) = 0,556. Pour trouver l'angle R, on utilise la fonction réciproque : R = cos⁻¹(0,556). Sur la calculatrice en mode degrés, on obtient R qui vaut environ 56°. Conclusion : l'angle R mesure environ 56°. Pour vérifier la cohérence, calculons l'angle T : la somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc T = 180° - 90° - 56° = 34°. On peut vérifier avec sin(R) = ST / RT pour trouver ST, puis vérifier avec le théorème de Pythagore que RS² + ST² = RT².
Les problèmes concrets : appliquer la trigonométrie à la vie réelle
Les problèmes contextualisés sont très fréquents en évaluation de 3ème et au brevet. Voici comment les aborder. Exemple : un cerf-volant est relié au sol par un fil de 50 mètres qui fait un angle de 62° avec le sol. À quelle hauteur se trouve le cerf-volant ? Première étape : schématisez la situation. Le fil, le sol et la verticale forment un triangle rectangle. L'angle au sol est 62°, l'hypoténuse (le fil) mesure 50 m, et on cherche le côté opposé à cet angle (la hauteur). Deuxième étape : le rapport sinus relie le côté opposé et l'hypoténuse. On écrit sin(62°) = hauteur / 50. Troisième étape : hauteur = 50 × sin(62°) = 50 × 0,8829 = 44,1 m. Conclusion : le cerf-volant se trouve à environ 44,1 m de hauteur. L'erreur classique dans ce type de problème est d'inverser le côté opposé et le côté adjacent, ou de confondre le fil avec la distance au sol. Le schéma est votre meilleur allié pour éviter ces confusions.
Erreurs fréquentes et points de vigilance
L'erreur numéro un est de confondre le mode de la calculatrice. Vérifiez que l'affichage indique « DEG » (degrés) et non « RAD » (radians) ni « GRAD » (grades). En mode radians, sin(42°) donnerait un résultat complètement différent et faux. L'erreur numéro deux est l'inversion des côtés dans le rapport trigonométrique. Relisez toujours votre formule en vérifiant que le numérateur et le dénominateur correspondent bien aux côtés identifiés. L'erreur numéro trois concerne l'isolation de l'inconnue. Si cos(A) = x / 8, alors x = 8 × cos(A) (multiplication). Mais si cos(A) = 8 / x, alors x = 8 / cos(A) (division). Confondre ces deux cas est une source majeure d'erreurs. Enfin, n'oubliez jamais d'arrondir au degré ou au dixième comme demandé, et de donner une réponse dans une phrase complète qui reprend la question posée. Ces détails font la différence entre une copie moyenne et une excellente copie.
En travaillant méthodiquement avec ce corrigé, vous développerez les réflexes indispensables pour réussir tout exercice de trigonométrie, que ce soit en évaluation ou au brevet des collèges. La trigonométrie est un outil mathématique puissant et élégant qui vous servira bien au-delà du collège, notamment en seconde avec l'introduction du cercle trigonométrique et des fonctions sinus et cosinus. Chaque exercice maîtrisé aujourd'hui est un investissement pour votre réussite future.